Corrige BTSOPTI Mathematiques 2005

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SE 2005, corrigé 2)a)Voici le schéma demandé, et deux autres aussi pour voir:EXERCICE 12 21)a) g(t)= 1+cos t sin t donc( ){142 43 v(t)u t( ) 2 2 Schémas réalisés avec Géogébra (www.geogebra.org)g′(t)=(−2costsint)sin t+ 1+cos t 2sintcost( ){ 142 43 ∞1 442 4 43 2)b) Dirichlet: la fonction f est C par morceaux (c’est-à-dire infiniment dérivable sauf en 142 43v(t) v′(t)u′(t) u t( ) quelques points discrets), donc elle satisfait largement aux conditions de Dirichlet. 3 3 • Déjà, la fonction étant paire, les b sont nuls.ng′(t)= −2costsin t+2sintcost+2sintcos t12 2 0.5 0.5 τ1 1 g′(t)=2costsint −sin t+1+cos t 2( ) a = f t dt =2 f t dt =2 −τ dt+2 −τdt• Ensuite ( ) ( )0  ∫ ∫ ∫ ∫−0.5 0 0 τ 1 2à partir de là on peut simplifier de plusieurs manières différentes:1 1   2 2 3g′ t =2costsint cos t+cos t = 4cos tsint a =2τ −τ +2 −τ (−τ) d’où a =0• ( ) ( ) 0     0   2 22 2 2g′ t =2costsint −sin t+1+1−sin t =4costsint 1−sin t …• ( ) ( ) ( ) 0.52 2πn ≥1• Enfin, pour , a = f(t)cos(nωt)dt avec ω = =2πn ∫sans intérêt, cela revient finalement au même −0.51 TMais on pouvait aussi très bien utiliser les formules de duplication: 0.512 2 a =4 f(t)cos(2πnt)dtg′(t)=2costsint cos t −sin t+1 =sin(2t) cos(2t)+1 = sin(4t)+sin(2t) qui est joli mais ne sert à rien( ) ( ) n ∫021τ 1  2a =4 −τ cos 2πnt dt+4 −τ cos 2πnt dt( ) ( ) ( )3 n  ∫ ∫1)b) Dans 0;π le sint est positif, et le cos t est du signe de cost 0 τ[ ]  21π  τ1  2donc g croît de g 0 =0 jusqu’à g =1 puis ...

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Extrait

SE 2005, corrigé

EXERCICE 1

1)a)g ( t) = 1 1+ 4 c 2 os 4 2 3 tsin 2 tdonc u ( t ) v ( t )  g′ ( t) = ( 1 −2 4 c 4 o 2 st 4 sin 43 t ) si v n ( t 2 ) t+ 1 1+ 4 u c 2 ( t o ) s 4 2 3 t2 1 s 4 in v 2 ′ t ( t ) c 4 o 3 st u ′( t )  g′ ( t) =−2 costsin 3 t+2 sintcost+2 sintcos 3 t g′ ( t) =2 costsint−sin 2 t+1+cos 2 t à partir de là on peut simplifier de plusieurs manières différentes:  g′ ( t) =2 costsintcos 2 t+cos 2 t=4 cos 3 tsint  g′ ( t) =2 costsint−sin 2 t+1+1−sin 2 t=4 costsint1−sin 2 t sans intérêt, cela revient finalement au même Mais on pouvait aussi très bien utiliser les formules de duplication: g′ ( t) =2 costsintcos 2 t−sin 2 t+1=sin ( 2t ) cos ( 2t) +1=isn 2 1 ( 4t) +sin ( 2t ) qui est joli mais ne sert à rien

1)b) Dans [ 0;π ] le sintest positif, et le cos 3 t est du signe de cost  doncgcroît deg ( 0) =0jusquà g    2  π  =1 puis redécroît jusquà g ( π) =0.

2)a)Voici le schéma demandé, et deux autres aussi pour voir:

Schémas réalisés avec Géogébra (www.geogebra.org) 2)b) Dirichlet: la fonctionfest C ∞  morceaux (cest-à-dire infiniment dérivable sauf enpar quelques points discrets), donc elle satisfait largement aux conditions de Dirichlet.  Déjà, la fonction étant paire, les b n sont nuls.  Ensuite a 0 = 1 1 ∫ −5.0 5.0 f ( t ) dt=2 ∫ 0 0.5 f ( t ) dt=2 ∫ 0 τ    1 2    −τdt+2 ∫ τ 2 1 −τdt =τ − a 0 2    1    τ+2    2 1    τ− ( −τ )doù a 0 =0 2  Enfin 2π 2 , pour n≥1 ,a n = 2 1 ∫ −5 0 0. .5 f ( t ) cos ( nωt ) dta T  vecω= =π a n =4 ∫ 5.0 0 f ( t ) cos ( 2πnt ) dt a n ∫ 0 τ    2 1    τ−cos ( 2πnt ) dt+4 ∫ τ 2 1 ( −τ ) cos ( 2πnt ) dt =4 a n =4    1 τ    ∫ 0 τ cos ( 2πnt ) dt−4τ τ 1 cos ( 2πnt ) dt 2 − ∫ 2 1  a n =4    2 1    τ−   2π 1 n sin ( 2πnt )    0 τ −4τ    1 2πn sin ( 2πnt )    τ 2