Corrige CAPESINT Composition de mathematiques 2008 CAPES MATHS

Description

CAPES INTERNE 2008 ; Corrig´e.Probl`eme 1 Pour les figures voir l’´enonc´e du probl`eme.1 Partie I1. En prolongeant le segment [AO] au dela` de O on obtient A” diam´etralement oppos´e `a A surC.On trace ensuite le cercle de centre A” de rayonR qui coupeC en les points B et C cherch´es.2. Les relations AB = AC et OB = OC impliquent que (AO) est la m´ediatrice du segment [BC] et passe′donc parA . (AO) est la m´ediane issue deA et de mˆeme (BO) (resp. (CO)) est la m´ediane issue deB (resp.AO 2 3AO′de C). Sachant que O est alors le centre de gravit´e du triangle ABC on a : = , puis AA = ,′AA 3 22 2 √L 9R2 3.enfin par PythagoreL = + . D’ou` L =R4 4√3. Les coˆt´es de ces triangles ont tous une longueur de R 3. Selon que ces triangles sont ou non demˆeme orientation on passe de l’un a` l’autre par la rotation de centreO amenant A en U ou par la sym´etried’axe la m´ediatrice de [AU].′4. On a d´eja` vu que (AA ) est la m´ediatrice du coˆt´e [BC] et aussi la m´ediane issue de A ; ´etant perpen-diculaire a` (BC) c’est la hauteur issue de A. Enfin les points B et C sont ainsi sym´etriques par rapport a`′ ′′ ′\ \ \(AA ), les droites (AB) et (AC) le sont aussi et BAA =CAA ; (AA ) est la bissectrice de l’angle BAC.4πR 2πR5. Selon que l’arc choisi contient ou non le point A sa longueur vaut respectivement ou .3 32 Partie II[ [ [ [ [ [ [1. Dans le 1er cas on a OAJ =OAC =OAP +PAC≥OAI, d’ou` AI =RcosOAI≥RcosOAJ =AJ.On en d´eduit AP = 2AI≥ 2AJ =AB =L.En intervertissant ...

Sujets

• bac

Informations

• Publié par: shin
• Nombre de lectures: 206
• Langue: Français

Extrait

CAPESINTERNE2008;Corrige´.

Probl`eme1 obl`dupreme.ouPesrlurfigovse’lrione´e´cn

1 PartieI 1. En prolongeantle segment [AOda`ledua]eOon obtientA´mteareld”ais´e`amentoppoAsurC. On trace ensuite le cercle de centreA” de rayonRqui coupeCen les pointsBetC.se´hcrehc 2. LesrelationsAB=ACetOB=OCimpliquent que (AO[t)ltsee´madiatricedusegmenBC] et passe ′ donc parA. (AOienaide´edeussamtles)Aˆemetdeme(BO) (resp.(CO)e)´mdetsaledeenaiussiB(resp. AO2 3AO ′ deCque). SachantOelgnaiit´edutrredegravsrelectnseatolABCon a :=,puisAA=, ′ AA3 2 2 2 L9R 2 enfin par PythagoreL.D’o+`u=L=R3. 4 4 3.Lescoˆte´sdecestrianglesonttousunelongueurdeR3. Selonque ces triangles sont ou non de meˆmeorientationonpassedel’una`l’autreparlarotationdecentreOamenantAenUrte´mysalrapuoie d’axelam´ediatricede[AU]. ′ 4.Onad´ej`avuque(AAtaidecirltsee´ma[)cˆdu´eotBCedeu´e]amaiulestssseiandiAe´;enpreptnat diculaire`a(BC) c’est la hauteur issue deAles points. EnfinBetCraarppro`tansisym´etriquesposiatn ′ ′′ ′ \ \\ (AA), les droites (AB) et (AC) le sont aussi etBAA=CAA; (AA) est la bissectrice de l’angleBAC. 4πR2πR 5. Selon quel’arc choisi contient ou non le pointAsa longueur vaut respectivementou . 3 3 2 PartieII [ [ [ [ [[ [ 1. Dans le1er cas on aOAJ=OAC=OAP+P AC≥OAIu`d,o’AI=RcosOAI≥RcosOAJ=AJ. Onende´duitAP= 2AI≥2AJ=AB=L. EnintervertissantlesroˆlesdePet deClagoernasneleuadecas2`em:obtnontiemade`eniAP≤AC. ′ ′′ 2. SachantOJ≥OA≥OI´endneohraPyptarietgdouJ N≤A C≤INiselge´nd,u`o’semand´eealit´esd en doublant. \ 3.D’apre`sleth´eor`emedel’angleinscritonaAOK=θouπ−θselon queθiaugetsbouo,sut`o’du \ AK=RsinAOK=RsinθetASvaut le double. π π3 2π Siθ <alorsAS <2R2sin =R=Liesemmˆedteθ >. 3 32 3 4. Ladroite (ODesymaxediedeΓ´etrts’le)∩ Cet ne contient pas le pointAdonc cette intersection est forme´edeAtriquesonsym´eedteF`t(apraarpproOD). ρ ′ 2 2 L’aire deADDvaut 4R−ρ=AG×R. 2 ρ 2 2 DoncAF= 2AG= 4R−ρ. R 2 22 2 Onr´esoutl’ine´quationene´levantaucarr´eetenprenantxcomme inconnue ce qui donnex∈[R ,3R]. Appliquantcequipre´c`ede`ax=ρon obtient :AF≥R3 si et seulement siρ∈[R, R3]. ⌢ ′ ′ \ [ 5. On aAE≥LssiEsediucrast`enelacppatiarBCqui ne contient pasAou encore ssiOAE≤OAC.  ! ! 2 2 1 3R3 3R3π3 2 2 L’aire grise vautπR−+ =R+. 3 44 32

1