Corrige Polytechnique X Deuxieme composition de Mathematiques 1999 MP

Description

meRapport de M Hélène AIRAULT et M. Paul GÉRARDIN, correcteurs.La recommandation initiale « On attachera la plus grande importance à la clarté, à laprécision et à la concision de la rédaction » a été rarement suivie. Trop de candidats nefont pas de différence entre leur brouillon et ce qu’ils écrivent sur la copie. Les correcteursen ont tenu compte.Le problème traite de l’approximation des nombres réels irrationnels par les « frac-√tions continues ». Ainsi 2 s’approche par la suite des nombres rationnels 1+1/2,1+1/(2 + 1/2)), ...,où le terme suivant s’obtient à partir du précédent en rempla-çant le dernier 2 par 2+1/2. C’est la suite 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, ... Il estremarquable que le cinquième terme 99/70 s’écrive aussi comme le quotient du nombre29,7 par 21 : ce sont les longueurs en cm du format A4.Dans le problème,pour construire ces fractions continues,on utilise le groupe G desmatrices d’ordre 2 de déterminant égal à +1 ou−1,et dontles coefficients sontdes entiersrelatifs.Apartlaquestion7 et les deux dernières questions,le problème a été abordé dansson intégralité par la majorité des candidats.Première Partie1. Peu de candidats ont observé que la suite (p ), n≥ 0,était simplement la suiten(q ), n≥ 0. Il fallait trouver la solution d’une suite récurrente. Les candidats sont enn+1général passés par la résolution de l’équation dite caractéristique,mais peu d’entre euxont su aboutir à une expression simplifiée de la solution.2. Bien que le ...

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Extrait

me Rapport de MHélène AIRAULT et M. Paul GÉRARDIN, correcteurs.

La recommandation initiale «On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction» a été rarement suivie. Trop de candidats ne font pas de différence entre leur brouillon et ce qu’ils écrivent sur la copie. Les correcteurs en ont tenu compte.

Le problème traite de l’approximation des nombres réels irrationnels par les « frac- tions continues ». Ainsi2s’approche par la suite des nombres rationnels1 + 1/2, 1 + 1/(2 + 1/2)),. . .,où le terme suivant s’obtient à partir du précédent en rempla- çant le dernier2par2 + 1/2. C’est la suite3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,. . .Il est remarquable que le cinquième terme99/70s’écrive aussi comme le quotient du nombre 29,7par21: ce sont les longueurs en cm du format A4.

Dans le problème,pour construire ces fractions continues,on utilise le groupeGdes matrices d’ordre 2 de déterminant égal à+1ou−1,et dont les coefficients sont des entiers relatifs.

A part la question7et les deux dernières questions,le problème a été abordé dans son intégralité par la majorité des candidats.

Première Partie

1.Peu de candidats ont observé que la suite(p n ),n≥0,était simplement la suite (q n+1 ),n≥0. Il fallait trouver la solution d’une suite récurrente. Les candidats sont en général passés par la résolution de l’équation dite caractéristique,mais peu d’entre eux ont su aboutir à une expression simplifiée de la solution.

2.Bien que le calcul explicite dep n etq n ne soit pas indispensable pour résoudre cette question,il a été l’outil de démonstration de la majorité des candidats. Le résultat a souvent été donné sous forme non simplifiée. Les racines de l’équation caractéristique n sont les nombrestpour lesquels la suite(t),n≥0,vérifie la récurrence. Ici,les racines 2 uetvde l’équationt=αt+ 1vérifient−1< u <0<1< v. Il est surprenant de voir de nombreuses copies tenir de longs calculs pour obtenir ces inégalités qui relèvent de l’étude de la position d’un nombre par rapport aux racines d’un trinôme du second n+1n+1 degré (programme du lycée). Avec l’expressionq n = (v−u)/(v−u),on obtient facilementλ=v.

2 3.Le plus simple est d’observer que l’équationt=αt+ 1pourαentier>0ne peut avoir de racine rationnelle. Autrement,le problème se ramène à démontrer que l’équation 2 2 α+ 4 =mn’a pas de solution(α, m)oùαetmsont deux entiers strictement positifs. Ceci n’a pas été perçu par un bon quart des candidats. Ces derniers élèvent au carré des racines carrées et se perdent dans les calculs et discussions sur les solutions deqλ=poù petqsont entiers.