EA 2004 premiere epreuve classe prepa mp

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6Ce problµeme fait ¶etudier certaines propri¶et¶es de l’¶equation difi¶erentielle00 2¡u (x)+x u(x)=‚u(x)en particulier les polyn^omes d’Hermite (partie I), et une in¶egalit¶e qui est la traductionmath¶ematique du principe d’incertitude de Heisenberg (question 12)). Les questions 9) et10) de la partie II peuvent ^etre trait¶ees sans faire appel aux ...

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• Publié par: aiolos
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Extrait

Ceprobl`emefaite´tudiercertainespropri´et´esdel’e´quationdiffe´rentielle

002 −u(x) +x u(x) =λu(x) enparticulierlespolynoˆmesd’Hermite(partieI),etunein´egalite´quiestlatraduction math´ematiqueduprinciped’incertitudedeHeisenberg(question12)).Lesquestions9)et 10)delapartieIIpeuventeˆtretraite´essansfaireappelauxre´sultatsdelapartieI. I ∗ On poseH 0 (x) = 1 et, pour toutn∈N, n d 2 2 n x−x H n (x) = (−1)e(e). n dx 1) CalculerH 1 (x),H 2 (x),H 3 (x),H 4 (x) etH 5 (x). 2) a) Montrer que, pour toutn∈N,H n r´egededomnˆlyponoitcnofenutseenet que la suite (H n elatieolnarerifi)v´ 0 x)−H(x). H n+1 (x) = 2xH n ( n 2)b)Quelestlecoefficientdumonoˆmedeplushautdegr´edansH n ? 2) c) ExprimerH n (−x) en fonction deH n (xruedavel.)´dnEiudealerH 2n+1 (0) pour tout n∈N. 3) a) Pour toutn≥1, calculer n d 2 −x ¯ (e). n x =0 dx 2 −x (On pourra exprimeree´seeeiremmonu’d.i`nte)ercommes 3)b)End´eduirelavaleurdeH 2n (0) pour toutn∈N. 4)a)Quelssontlesze´rosdesfonctionsH 1 ,H 2 ,H 3 ,H 4 etH 5 ? 4) b) Soienta∈Retf: [a,+∞[→Rtnnieute´dreviba]rusecloa,+∞[. Onsuppose que f(alim) = 0 et quef(x) = 0. x→+∞ 0 Montrer qu’il existeα∈]a,+∞[ tel quef(α) = 0. 4) c) Montrer que, pour toutn≥1, la fonctionH n admetnerosr´eez´tc.sslidtsni 5) a) Montrer que, pour toutm,n∈N, l’on a Z +∞ 2 −x H m (x)H n (x)e dx= 0 sim6=n . −∞ 5)b)Etantdonne´eunefonctionpolynoˆmePddege´re< n, calculer Z +∞ 2 −x P(x)H n (x)e dx. −∞ 1