a31X02P=aM0a1:aa:XaXa2J=1MaaaXaM=aJ;1X2J1:0ha;RJ30X1R03A::fPh:=MXD=1PJDPR1Aa20=1M0a2:@a=>M2::Ra3X=X@22=0M2a1M1af:aEcole Supe´rieuredeCommercedeLyonConcours d’entree´ 2000Mathematiques´1` ere epreuv´ e (option economique)´Mardi 2 mai 2000 de 8 heures a1` 2heuresExercice 1 :On consider` e une matrice carre´e d’ordre 3 :et l’endomorphisme de de matrice dans la base canonique deOn concide`re, pour tout nombre reel´ la matrice carree´ re´elle d’ordre 3 :1. (a) Det´ erminer les valeurs propres et les sous-espaces propres def:(b) Montrer que est diagonalisable. De´terminer une matrice re´elle diagonale d’ordre trois et une matricer´eelle inversible d’ordre trois telles quePDP(c) En de´duire que, pour tout nombre reel´ , il existe une matrice re´elle diagonale d’ordre trois, que l’oncalculera, telle quePD(d) Quel est l’ensemble des nombres reel´ s tels que soit inversible ?2. On se propose, dans cette question, de de´terminer l’ensemble des nombres reel´ s tels qu’il existe une matricecarree´ re´elle d’ordre trois ver´ ifiant(a) Soient un nombre reel´ et une matrice carree´ re´elle d’ordre trois tels quei. Montrer que commute avec puis que commute avecii. On note l’endomorphisme de de matrice dans la base canonique de D´ eduire de la questionprec´ ed´ ente que tout vecteur propre de est vecteur propre deiii. Etablir qu’il existe une ...