Epreuve de mathématiques CRPE 2012

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Extrait

Correction de l’épreuve de mathématiques du CRPE 2012 du sujet du PG3

∗ Denis Vekemans

2 Exercice 1Dans tout cet exercice, les longueurs sont exprimées encmet les aires encm. 1. Dansle cas oùx= 4, on aC=NetA=Q. La figure cidessous n’est pas à l’échelle.

N P=CP= 4etQM=AM= 4. De plus,(N P)//(QM)(comme côtés opposés d’un rectangle). Donc,[N P]et[QM]sont deux côtés parallèles et de même longueur, et comme le quadrilatèreM N P Q est convexe, c’est unparallélogramme. 2. Lafigure cidessous n’est pas à l’échelle.

∗; Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouvilledu Littoral Côte d’Opale. Université; 50, rue Ferdi nand Buisson BP 699; 62 228 Calais cedex; France

1

CRPE

PG3

2012

D’après le théorème de Pythagore, appliqué dans le triangle rectangleAM Q, rectangle enA, on a p 2 22 2 2 AQ+AM=M Q, doncM Q= (4−x) +x. |{z} |{z} =x =4−x p 2 2 De même, on obtientN P= (4−x) +x. 2 D’après le théorème de Pythagore, appliqué dans le rectangleM BN, rectangle enB, on aM B+ |{z} =6,5−x p 2 2 2 2 BN=M N, doncM N= (6,5−x) +x. |{z} =x p 2 2 De même, on obtientQP= (6,5−x) +x. Ainsi,M N P Qa ses côté opposés de même longueur (M N=QPetM Q=N P) et, étant convexe, c’est unparallélogramme. 3. (a)A(M N P Q) =A(ABCD)− A(QAM)− A(M BN)− A(N CP)− A(P DQ). | {z }| {z } | {z } | {z } |{z } =6,5×4 x×(4−x)x×(6,5−x)x×(4−x)x×(6,5−x) = == = 2 2 22 2 22 Et,A(M N P Q) = 26−(4×x−x)−(6,5×x−x) = 26−10,5×x+ 2×x. (b) – Pourx= 0,A(M N P Q) = 26(A=M,B=N,C=PetD=QetM N P Qest le rectangle ABCDqui a bien une aire de6,5×4 = 26). – Pourx= 4,A(M N P Q) = 16(C=N,A=Q,N P=CP= 4etQM=AM= 4etM N P Q, qui est un parallélogramme qui a[AM]pour base et[BN]pour hauteur relative à cette base, a bien une aire de4×4 = 16). 4. Ils’agit de la figure 3 (par élimination) : – lafigure 1 ne respecte pas que pourx= 1,A(M N P Q) = 17,5; – lafigure 2 ne respecte pas que pourx= 0,A(M N P Q) = 26(ni pourx= 4,A(M N P Q) = 16) ; – lafigure 4 ne respecte pas que pourx= 1,A(M N P Q) = 17,5. 5. (a)Pourxvoisin de2,5(à0,5près),A(M N P Q)semble minimale (graphiquement).Remarque: 21 c’est réellement enx=que l’aire est minimale, mais ce sera développé à la question 7. 8 (b) L’aireA(M N P Q)minimale semble avoir une valeur de12(à1près, et graphiquement).Re 391 marque, mais ce sera développé à la question 7.: cette aire minimale vaut réellement 32 2 6. (a)On a pu écrire dans la celluleB2la formule= 26−10,5×B1 + 2×B1(on aurait également 2 pu fixer la ligne := 26−10,5×B$1 + 2×B$1) puis la recopier vers la droite pour compléter la ligne 2. (b) La ligne 1 ne visite pas toutes les valeurs possibles dex(il en existe une infinité et ce serait impossible à faire sur un logiciel de ce type) et il n’est absolument pas certain que la ligne 1 ait présenté la valeur en laquelle l’aire est minimale, indépendamment du fait que cette aire minimale puisse être donnée à0,1près.

Denis Vekemans

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CRPE

7.

PG3

21 39121 441391 2 2 2×(x−) += 2×(x− ×x++ ) 8 324 6432 21 441391 2 = 2×x− ×x+ + 2 3232 21 441+ 391 2 = 2×x− ×x+ 2 32 21 832 2 = 2×x− ×x+ 2 32 2 = 2×x−10,5×x+ 26 =A(M N P Q)

2012

391 Ainsi,A(M N P Q)≥car un carré est toujours positif ou nul. L’aireA(M N P Q)est minimale 32 21 391 lorsque ce carré est nul donc lorsquex=.et vaut alors 8 32

Exercice 2 Affirmation 1En 5 ans, les prix ont augmenté de50%. Faux !Chaque année, le prix est multiplé par1,1et donc, au bout de5ans, il est multiplié par 5 1,16= 1,5. Affirmation 2En versant 5 volumes de sirop de fraise dans 9 volumes d’eau, on aura une boisson plus sucrée que si l’on verse 4 volumes du même sirop dans 7 volumes d’eau. Aux auteurs de ce sujet. . . Sérieusement, que sousentend ce terme "volume"?, – s’agitildu même volume que l’on prenne du sirop ou de l’eau, dans le premier mélange comme dans le second? (si oui, pourquoi les auteurs de ce sujet n’ontil pas remplacé les expressionsxvolumes parxdécilitres, par exemple : cela ne modifiait en rien le problème); – s’agitild’un certain volume lorsque l’on prend du sirop et d’un autre lorsque l’on prend de l’eau? (j’espère que non, car cette question deviendrait difficile); – s’agitild’un certain volume lorsque l’on prépare le premier mélange et d’un autre lorsque l’on prépare le second mélange? (si oui, pourquoi ne pas le dire?) Autre chose, concernant le terme "plus sucré" : estce qu’une boisson plus ou moins sucrée est une notion proportionnelle au volume de sirop dans l’eau?, de sucre (contenu dans le sirop) dans l’eau?, de sirop dans le mélange?, de sucre (contenu dans le sirop) dans le mélange?, ou une notion propor tionnelle à la masse (et non pas du volume)?,. . .En fait, dans cette histoire, tout est proportionnel et vous allez me répondre que cela n’importe pas (ce qui est correct), et que cela rejoint la question : "s’agitil d’un certain volume lorsque l’on prépare le premier mélange et d’un autre lorsque l’on prépare le second mélange?" (ce qui est aussi correct), mais, "estce évident?" Aux lecteurs. . . Il est convenu dans la suite que "plus le volume de sirop de fraise dans un mélange par rapport au volume total de ce mélange est important, plus ce mélange est sucré".

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Il est aussi convenu que le terme "volume" désigne le "même volume" à chaque fois qu’il est utilisé. 5 Faux !Pour le premier mélange, il contient≈35%de sirop et pour le second mélange, il contient 5 + 9 4 ≈36%de sirop. Le second mélange est donc plus sucré (au sens défini dans la note aux lecteurs). 4 + 7 Affirmation 3On a autant de chances d’obtenir un nombre pair qu’un nombre impair. 1 3 1 Vrai !Du fait que la somme des probabilités est1,+p+p+ +p= 1et on obtientp=. 8 4 8 1 31 La probabilité d’obtenir un nombre pair est doncp 2 +p 4 = + =, oùp 2 désigne la probabilité 8 82 d’obtenir2etp 4 désigne la probabilité d’obtenir4. 1 1 11 La probabilité d’obtenir un nombre impair est doncp 1 +p 3 +p 5 = + + =, oùp 1 désigne la 4 8 82 probabilité d’obtenir1,p 3 désigne la probabilité d’obtenir3etp 5 désigne la probabilité d’obtenir5. Affirmation 4La différence entre les carrés de deux nombres entiers naturels consécutifs est égale à la somme de ces deux nombres entiers. Vrai !En effet, soient deux nombres entiers naturels consécutifsnetn+ 1. 2 2+ 2 La différence entre leurs carrés est(n+ 1)−n=n2×n+ 1−n= 2×n+ 1. Leur somme estn+ (n+ 1) = 2×n+ 1. Affirmation 5Si on augmente l’arête d’un cube de10%, alors le volume de ce cube augmente de33,1%. Vrai !Soitcle côté de ce cube avant augmentation. Le volume de ce cube avant augmentation est 3 doncc. Le côté du cube après augmentation est1,1×c. Le volume de ce cube après augmentation est donc 3 33 3 (1,1×c1) =,1×c= 1,331×c. Le volume augmente donc bien de33,1%. Affirmation 6Sans cette technique, sa vitesse moyenne n’est donc que de60km/h. Faux !60km/h×1,5 = 90km/h6= 120km/h. √ Affirmation 7AC=n. \ \\ Vrai !Les trianglesAHCetACBsont semblables : en effet,HAC=CAB(même angle) etAHC= \ ACB(car l’angle enCdu triangleABCest droit puisqueCest sur le cercle et[AB]est un diamètre de ce cercle). Par conséquent,   AH ACHC = =. AC ABCB √ √ √ Et,AC=AH×AB= 1×n=n.

Exercice 3 1. Lafigure suivante n’est pas à l’échelle. Algorithme de construction. – Tracerun cercleΓde centreOet de rayon5cm. – Placerun pointBsur ce cercle. – Tracerla droite(BO)qui va couperΓen les deux points distinctsBetC. – Tracerla médiatrice du segment[BC]qui va couperΓen deux points dont un que l’on nommeD

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(une procédure pour tracer une médiatrice d’un segment donné à la règle et au compas est donnée dans le cours). – Tracerle cercleΓ B de centreBet de rayon10cm. Tracer la droite(CD). La droite(CD)coupe le cercleΓ B en deux points dont un, que l’on nommeF, qui est tel queC,DetFsont lus dans cet ordre sur la droite(CD). – Tracerle cercleΓ C de centreCet de rayon10cm. Tracer la droite(BD). La droite(BD)coupe le cercleΓ C en deux points dont un, que l’on nommeE, qui est tel queB,DetEsont lus dans cet ordre sur la droite(BD). – Tracerle cercleΓ D de centreDpassant parE(etF). 2. Lesdifférents rayons : –Γa pour rayonOB= 5cm. –Γ B a pour rayonBE= 10cm. –Γ C a pour rayonCF= 10cm. √ √ 2 2 –Γ D a pour rayonDF=CF−CD= (10−10×)cm(CD= 10×est un résultat qui se 2 2 démontre en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangleBCDisocèle rectangle enD) et, √ √ 2−2 donc,DF= 10×cm= 5×(2−2)cm. 2 Les différents arcs de cercles : ⌢ –BCdemicercle ayant pour rayonOB= 5cm. ⌢ –CEhuitième de cercle ayant pour rayonBE= 10cm(il s’agit d’un huitième de cercle car l’angle enBdu triangleBCDmesure45degrés). √ ⌢ –EFquart de cercle ayant pour rayonDF= 5×(2−2)cm(il s’agit d’un quart de cercle car l’angle \ enDdu triangleBCDmesure90degrés, tout comme l’angleEDF). ⌢ –F Bhuitième de cercle ayant pour rayonCF= 10cm(il s’agit d’un huitième de cercle car l’angle enCdu triangleBCDmesure45degrés). Le périmètre de l’ove est donc ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ BC+CE+EF+F B √ 2×π×5 2×π×10 2×π×5×(2−2) 2×π×10 = (+ ++ )cm 2 84 8 √ 2 = 5×π×(3−)cm 2 ≈36,0cmarrondi aummprès

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