ESSEC 2003 mathematiques iii classe prepa hec (ece)
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ESSEC option Eco 2003Maths IIIExercice 1 Suites r´ecurrentes et alg`ebre lin´eaireNSoita un nombre r´eel. On noteR l’ensemble des suites r´eelles d´efinies surN , etF le sous- ensembleNdeR form´e des suites (u ) qui v´erifient : ∀n∈Nu = 3au +(1−3a) u .n n+3 n+1 nn∈NL’objet de ce probl`eme est l’´etude de l’ensemble F .´I. Etude du cas particulier a = 1.Soit (u ) la suite d´efinie par ses trois premiers termes u , u ,u , et la relation de r´ecurrencen 0 1 2n∈N∀n∈Nu = 3u −2u .n+3 n+1 n   u 0 1 0n   Pour tout entier natureln, on pose : X = u et on noteM la matrice carr´ee 0 0 1n n+1u −2 3 0n+21. Reconnaˆıtre, pour tout entier naturel n , le produit MX .nEn d´eduire l’expression de X en fonction des matrices M, X et de l’entier naturel n.n 02. a) D´eterminer les valeurs propres de la matrice M et leur sous-espace propre associ´e.b) La matrice M est-elle diagonalisable ?33. On note f l’endomorphisme deR canoniquement associ´e a` M , c’est-a`-dire tel que M soit la3matrice de f dans la base canoniqueB deR .0 0 0 0 0a) D´eterminer une base B = (e ,e ,e ) telle que la matrice T de f dans B v´erifie T =1 2 3 −2 0 00 0 0 0 1 1 , et que les vecteurs e , e , e aient respectivement pour premi`ere com-1 2 30 0 1posante 1, 1 et 0.nb) D´eterminer, pour tout entier naturel n , l’expression de T4. Soit P la matrice de passage de la baseB a` la baseB ’ . Exprimer M en fonction de T , P et−1 nP , puis M en fonction des mˆemes matrices et de l’entier naturel ...

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ESSEC option Eco 2003 Maths III Exercice1Suitesr´ecurrentesetalg`ebreline´aire N Soitateuner´ronbmnOonee.lRrue´neissenldelembsersetiussdsellee´N, etFle sous- ensemble N deRssedetiuofs(e´mrun:etnivquri´e)nNun+3= 3a un+1+ (13a)un. nN Lobjetdeceproble`meestle´tudedelensembleF. ´ I. Etude du cas particuliera= 1. Soit (unemretsrestresrspamirespoialustidee´nei)u0, u1, u2ruer´rcecnelare,etondelati nN nNun+3= 3un+12un.    un00 1    Pour tout entier natureln, on pose :Xn=un+1et on noteM010eer´arcecirtamal un+22 3 0 1. Reconnaˆıtre,pour tout entier natureln, le produitM Xn. Ende´duirelexpressiondeXnen fonction des matricesM,X0et de l’entier natureln. 2.a)Dte´einrmleerlavssrueporpdserectairlemaM.e´icossaerltueeproppaces-esrsou b) LamatriceMest-elle diagonalisable ? 3 3. Onnotefl’endomorphisme deRacinonocsse`ai´emqutaenMeuqletste,credia--`Msoit la 3 matrice defdans la base canoniqueBdeR. 0 00 00 aesabD´)eretnemineruB= (e ,e ,e) telle que la matriceTdefdansBeirev´T=   1 2 3 2 0 0   0 0 0 0 11,et que les vecteurse ,e ,ectivespeentraicorem-erpre`imnemeuopt 1 2 3 0 01 posante 1, 1 et 0. n butentiernra,tpuoruerltotereimen)´Dn, l’expression deT 4. SoitPla matrice de passage de la baseB`balaaseBExprimer’ .Men fonction deT,Pet 1n P, puisMirecesdtleetneirnaturelncfoentamsemeˆmsednoitn. 1 5.a) CalculerP(les calculs devront figurer sur la copie) n b) Pourtout entier naturelnneigdei`emelerlac,selrelucenciecoprladetsMeridne;ude´ l’expression deunen fonction deu0, u1, u2et de l’entier natureln. ´ II.Etudeducasge´n´eral. Onrevientaucasge´ne´ralou`auelqonlce.quenutsee´r 1.Structure de F . N amontrerqueD)e´Fest un sous-espace vectoriel deR 3 bionnscoOn)erldie`citapalpϕ:FR. (un)(u0, u1, u2) n De´montrerqueϕacspeedsmhirpmodne;sleirotcevseue´eduireqinosseutFest de dimensionnieetpre´cisersadimension. essec˙2003˙E˙3 Page1/ 5
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