ESSEC 2006 mathematiques iii classe prepa hec (ece)

Description

ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption ØconomiqueMATHEMATIQUES IIIAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.EXERCICE 1 : probabilitØs et fonctions de deux variablesCentboules,cinquanteblanchesetcinquantenoires,sontrØpartiesdansdeuxurnesnotØesU etU . Onchoisitune1 2urne au hasard puis on tire au hasard une boule dans l’urne choisie. L objectif de cet exercice est de dØterminer,si elle existe, la rØpartition pour laquelle la probabilitØ de tirer une boule blanche est maximale ainsi que la valeurde cette probabilitØ.1. Justi er qu il existe une rØpartition des boules dans les urnes pour laquelle la probabilitØ de tirer une bouleblanche est maximale.2. DØterminer la probabilitØ de tirer une boule blanche dans le cas oø les urnes sont composØes de 20 boulesblanches et 40 boules noires pour l’une, 30 boules blanches et 10 boules ...

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Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS DADMISSION

Option économique

MATHEMATIQUESIII

Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.

EXERCICE 1 :probabilités et fonctions de deux variables

Cent boules, cinquante blanches et cinquante noires, sont réparties dans deux urnes notéesU 1 etU 2 . Onchoisit une urne au hasard puis on tire au hasard une boule dans lurne choisie.Lobjectif de cet exercice est de déterminer, si elle existe, la répartition pour laquelle la probabilité de tirer une boule blanche est maximale ainsi que la valeur de cette probabilité.

1. Justierquil existe une répartition des boules dans les urnes pour laquelle la probabilité de tirer une boule blanche est maximale.

2. Déterminerla probabilité de tirer une boule blanche dans le cas où les urnes sont composées de 20 boules blanches et 40 boules noires pour lune, 30 boules blanches et 10 boules noires pour lautre. On peut donc répartir les boules dans les urnes de telle sorte que la probabilité de tirer une boule blanche 1 soit strictement supérieure à. 2 3. Onnotexetyles nombres respectifs de boules blanches et noires contenues dans lurneU 1 (xetysont donc deux entiers compris au sens large entre 0 et 50).

(a) Déterminerla probabilitéf(x; y)de tirer une boule blanche (on distinguera lexpression générale, fonc- tion des entiersxety, des deux cas particuliers où lune des urnes est vide). (b) Justierque, pour tous entiersxetycompris au sens large entre 0 et 50, on a légalité :

f(50x;50y) =f(x; y):

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