Fonctions variations bornées

Gustav Peter Dirichlet

Description

Niveau: Supérieur, Bac+5
Fonctions à variations bornées Introduction Dans ce problème, on s'intéresse aux fonctions à variations bornées. Cette notion a été introduite en 1881 par Jordan 1 pour étendre un théorème de Dirichlet 2 sur la convergence des séries de Fourier 3. Il est composé de sept parties A, B, C, D, E, F et G. Dans la partie A on établit quelques propriétés élémentaires relatives aux fonc- tions à variations bornées. En introduction de la partie B, on définit une notion de longueur bornée et de longueur pour les fonctions à valeurs dans R. Son objectif est d'établir des propriétés générales sur cette notion : une inégalité triangulaire, une relation de Chasles... Dans la partie C on établit l'équivalence entre “être de longueur bornée sur tout segment” et “être à variations bornées”. La partie D se consacre au cas des fonctions de classe C1. On y démontre qu'elles sont toujours de longueur bornée et on donne une formule pour calculer leur longueur. La partie E s'intéresse au cas des fonctions périodiques. La partie F est consacrée à l'étude d'un exemple. Dans la partie G, on étend les définitions et les propriétés présentées précédemment aux cas des fonctions à valeurs dans Rn. Sauf mentions contraires explicitées dans le texte, les parties de ce sujet ne sont pas a priori indépendantes. Notations et définition • Pour n ? N? et A ? R, F(A,Rn) désigne l'ensemble des fonctions de A vers Rn.

• e3c montrer


• relatives aux fonc- tions


• b4a justifier


• longueur bornée sur le segment


• longueur bornée


• représentation graphique de ?


• d5 établir


• d2b démontrer


• tions

Sujets

• Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
• Fourier

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Extrait

Fonctions À variations bornÉes

Introduction

Dans ce problme, on s’intresse auxfonctions À variations bornÉes. Cette notion 1 2 a t introduite en 1881 par Jordan pour tendre un thorme de Dirichlet sur 3 la convergence des sries de Fourier . Il est compos de sept parties A, B, C, D, E, F et G. Dans la partie A on tablit quelques proprits lmentaires relatives aux fonc- tions À variations bornes. En introduction de la partie B, on dfinit une notion de longueur borne et de longueur pour les fonctions À valeurs dansR. Son objectif est d’tablir des proprits gnrales sur cette notion : une ingalit triangulaire, une relation de Chasles... Dans la partie C on tablit l’quivalence entre “tre de longueur borne sur tout segment” et “tre À variations bornes”. La partie D se consacre au 1 cas des fonctions de classeC. On y dmontre qu’elles sont toujours de longueur borne et on donne une formule pour calculer leur longueur. La partie E s’intresse au cas des fonctions priodiques. La partie F est consacre À l’tude d’un exemple. Dans la partie G, on tend les dfinitions et les proprits prsentes prcdemment n aux cas des fonctions À valeurs dansR. Sauf mentions contraires explicites dans le texte, les parties de ce sujet ne sont pasa prioriindpendantes.

Notations et dÉfinition

∗n n •Pourn∈NetA⊆R,F(A,R)dsigne l’ensemble des fonctions deAversR. n Pour toutf∈ F(A,R)etB⊆A,f| B dsigne la restriction defÀB. •Dans tout le problme,Idsignera un intervalle deRnon vide et non rduit À un point. •Pourf∈ F(I,R), on dit quefest À variations bornèes lorsqu’il existe g∈ F(I,R)croissante eth∈ F(I,R)dècroissante telles quef=g+h.

A. PremiÈres propriÉtÉs

A1Ètablir que toute fonction monotone dfinie surIest À variations bornes. A2aMontrer que l’ensemble des fonctions À variations bornes dfinies surIest un sous-espace vectoriel deF(I,R). A2bÈtablir que ce sous-espace est engendr par l’ensemble des fonctions croissantes surI. Dans la fin de cette partie, on considÈref∈ F(I,R)une fonction À variations bornÉes, etaetbdeux ÉlÉments deItels quea < b. A3Soitα∈I. Dmontrer qu’il existek∈ F(I,R)croissante etl∈ F(I,R)d- croissante telles quef=k+letk(α) = 0. 1 Camille Marie Ennenmond Jordan, mathÉmaticien franÇais, Lyon 1838 – Paris 1922. 2 Gustav Peter Dirichlet, mathÉmaticien allemand, Dren 1805 – Gttingen 1859. 3 Joseph Jean-Baptiste Fourier, mathÉmaticien franÇais, Auxerre 1768 – Paris 1830.

1

A4On critf=g+havecgcroissante surIethdcroissante surI. Prouver que :

g(b)−g(a)>f(b)−f(a)>h(b)−h(a).

A5Montrer quefest borne sur le segment[a, b]. A6Ètablir qu’en tout point intrieur ÀI, la fonctionfadmet une limite À droite et une limite À gauche.

B. Fonctions de longueur bornÉe

SoientaetbdansIaveca < betf∈ F(I,R). On rappelle qu’une subdivision σde[a, b]est une suite finie, strictement croissante, qu’on peut noter(σ k ) 06k6p oÙ ∗ p∈N, et vrifiantσ 0 =aetσ p =b. ∗ Pourσ= (σ k ) 06k6p une subdivision de[a, b]avecp∈N, on pose :

i=p X `(σ, f) =|f(σ i )−f(σ i−1 )|. i=1

On dit quefest de longueur bornèe sur le segment[a, b]lorsqu’il existe Λ∈Rtel que pour toutσsubdivision de[a, b]on ait`(σ, f)<Λ. Sifest b de longueur bornèe sur[a, b], on dèfinit alorsL(f), la longueur deaÀb a def, par :

b L(f) = sup{`(σ, f)|σest une subdivision de[a, b]}. a σ

a b a De plus, on pose ègalementL(f) =−L(f)etL(f) = 0. b a a

Dans cette partie, on considrefetgdansF(I,R)eta, b, ctrois lments deI tels quea < c < b.

B1On suppose quefest de longueur borne sur[a, b]. Montrer que :

b L(f)>0. a

B2On suppose quefest de longueur borne sur[a, b]. Montrer que :

b |f(b)−f(a)|6L(f). a

B3On suppose quefetgsont de longueur borne sur[a, b]. Ètablir quef+gest de longueur borne sur[a, b]et que :

b b b L(f+g)6L(f) +L(g). a a a

B4On suppose quefest de longueur borne sur[a, c]et sur[c, b]. On considre une subdivisionσ= (σ k ) 06k6p de[a, b]et on pose :  q= max{j∈ {0,∙ ∙ ∙, p} |σ j < c} r= min{j∈ {1,∙ ∙ ∙, p} |σ j > c}

2

B4aJustifier l’existence deqet der. 0 00 On dfinit alors les suites finiesσetσpar :  0 σ=σ j sij∈ {0, . . . , q} j 0 σ=c q+1  00 σ=c 0 00 =σsij∈ {1, . . . , p−r+ 1} σ j j+r−1

0 00 B4bMontrer queσest une subdivision de[a, c]et queσest une subdivision de [c, b]. 0 00 B4cMontrer que`(σ, f)6`(σ , f) +`(σ , f). B4dProuver quefest de longueur borne sur[a, b]et que : b c b L(f)6L(f) +L(f). a a c

B5On suppose maintenant quefest de longueur borne sur[a, b]et on considre 0 00 une subdivision quelconqueσde[a, c]et une subdivision quelconqueσde [c, b]. B5aDmontrer qu’il existe une subdivision de[a, b], noteσ, telle qu’on ait 0 00 `(σ, f) =`(fσ , ) +`(σ , f).

B5bMontrer quefest de longueur borne sur[a, c]et sur[c, b]et que : b c b L(f)>L(f) +L(f). a a c

B6On suppose maintenant quefest de longueur borne sur tout segment deI. Soientα, β, γdansI, tablir l’galit : β γ γ L(f) +L(f) =L(f). α β α

C. Lien entre “tre de longueur bornÉe” et “tre À variations bornÉes”

On considref∈ F(I,R). C1SoientaetbdansIaveca < b. C1aSoitq∈ F(I,R)une fonction monotone. Prouver queqest de longueur borne sur[a, b]et qu’on a : b L(q) =|q(b)−q(a)|. a C1bOn suppose quefest une fonction À variations bornes. Montrer quefest de longueur borne sur[a, b]. C2On suppose quefest de longueur borne sur tout segment deI. On choisitλ dansIet on dfinit alors les fonctionsgeth, pour toutt∈I, par :     1 1 t t g(t) =f(t) +L(f) eth(t) =f(t)−L(f) λ λ 2 2 Prouver quegest croissante surIet quehest dcroissante surI.

3

C3En dduire quefest À variations bornes si et seulement sifest de longueur borne sur tout segment deI.

1 D. Cas des fonctions de classeC

1 On considre une fonctionf∈ F(I,R)de classeCsurI.Le but de cette partie est de montrer quefest de longueur bornÉe sur tout segment deIet que pour tous αetβdansIon a Z β β0 L(f) =|f(t)|dt. α α Z v 0 D1SoientuetvdansIavecu < v, tablir que|f(u)−f(v)|6|f(t)|dt. u D2SoientaetbdansIaveca < b. Z b 0 D2aSoitσune subdivision de[a, b]. Ètablir que`(σ, f)6|f(t)|dt. a D2bDmontrer quefest de longueur borne sur[a, b]et que Z b b0 L(f)6|f(t)|dt. a a D3SoientaetbdansIaveca < b, et soit un relε >0. ∗ D3aMontrer qu’il existep∈Netσ= (σ k ) 06k6p une subdivision de[a, b], tels que pour touti∈ {1, . . . , p}et pour toutxetylments de[σ i−1 , σ i ]on ait ε 0 0 |f(x)−f(y)|< . b−a D3bProuver que pour touti∈ {1, . . . , p}il existec i ∈[σ i−1 , σ i ]tel que 0 |f(c i )|(σ i −σ i−1 ) =|f(σ i )−f(σ i−1 )|.

D3cEn dduire que pour touti∈ {1, . . . , p}, on a Z σ i 0 ε(σ i −σ i−1 ) |f(σ i )−f(σ i−1 )|>|f(t)|dt−. b−a σ i−1

D3dÈtablir que Z b 0 `(σ, f)>|f(t)|dt−ε. a D4Conclure. D5Ètablir quefest À variations bornes.

E. Cas des fonctions pÉriodiques

Dans cette partie on s’intÉresse aux fonctions pÉriodiques À variations bornÉes. On y utilise certains rÉsultats de la partie A. Par ailleurs, les rÉsultats de cette partie ne sont pas utilisÉs dans les autres parties.

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Pourx∈R, on note[x]la partie entire dex. On rappelle que[x]est l’unique lment deZvrifiant [x]6x <[x] + 1. On rappelle galement que la fonction partie entire est croissante. On considre h i x ∗ T∈Ret on dfinit la fonctionpsurRparp(x) =. + T E1Pour toutx∈R, montrer quex−p(x)T∈[0, T[. E2Pouraetbdeux rels tels quea6b, tablir que :

p(a) =p(b)

ou

p(a) + 16p(b).

E3Soitf∈ F(R,R)une fonction priodique de priodeT. On suppose quef| [0,T] est À variations bornes. On peut donc criref| [0,T] =k+laveck∈ F([0, T],R) croissante,l∈ F([0, T],R)dcroissante etk(0) = 0(d’aprs A3). Pourx∈R, on pose :

g(x) =p(x)k(T) +k(x−p(x)T) h(x) =f(x)−g(x).

E3aJustifier que les fonctionsgethsont bien dfinies surR. E3bSoientaetbdeux rels tels quea6b. Montrer queg(a)6g(b).   E3cMontrer que pour tout relxon a :h(x) =−p(x)k(T) +l x−p(x)T. E3dMontrer que pour toutu∈[0, T]on al(0)>l(u)>l(0)−k(T). E3eProuver finalement quefest À variations bornes. E4On considre la fonction 1 ψ:x−7→ x−[x]−1 E4aMontrer queψest bien dfinie surRet est priodique de priode1. E4bParmi les trois fonctionsψ| [0,1[ , ψ| [0,1] etψ, quelles sont celles qui sont À varia- tions bornes ? On justifiera chacune des rponses.

Dans la fin de cette partie, on considÈre la fonctionϕdÉfinie, pourx∈R, par :

ϕ(x) =|sinx|+ sinx.

E5Donner, sans justification, la reprsentation graphique deϕ| [−2π,2π] dans un re- pre qu’on choisira. E6Montrer queϕest À variations bornes. E7D’aprs A3 et E6, on peut crireϕ=g+havecg∈ F(R,R)croissante vrifiant g(0) = 0eth∈ F(R,R)dcroissante.   π E7aÈtablir que l’on a :∀n∈N, g(2nπ) + 26g2nπ+. 2 (Indication : On pourra utiliser A4.) E7bEn dduire que l’on a :∀n∈N, g(nπ)>n. E7cQue vautlimg(x)? x→+∞ E7dEn dduirelimh(x). x→+∞

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F. Un exemple de fonction dÉrivable et bornÉe mais non À variations bornÉes

Les premiÈres questions de cette partie peuvent se traiter indÉpendamment des parties prÉcÉdentes. On tudie dans cette partie certaines proprits de la fonctionfdfinie pour x∈Rpar :  1  2 f(x) =xsinsix6= 0 2 x  f(0) = 0. F1aÈtudier la parit def. 0 F1bMontrer quefest drivable surRet calculerf(x)pour toutxrel. 1 F1cLa fonctionfsurest-elle de classe C R? F1dQue vautlimf(x)? x→+∞ F1eEn dduire quefest borne.   4n+ 1 F2Montrer que la srie de terme gnralln(n>1) est divergente. 4n−1 s 2 F3On considre la suite(u n ) n>1 dfinie paru n = (2n−1)π F3aVrifier que la suite(u n ) n>1 est dcroissante et est de limite nulle. ∗ F3bSoitn∈N. Ètablir que q √ 4 Z Z u n (4n−1)π 1 1 2 1 cos dt> q dt.  2  t t2t 4 u n+1 (4n+1)π Z u n 1 1 F3cProuver alors que la srie de terme gnralcos dt(n>1) est di-  2  u n+1 t t vergente. Z u 1 1 1 F3dEn dduire que l’intgralecos dtest divergente.  2  0 t t Z 1 0 F4aMontrer que l’intgralef(t) dtest convergente mais qu’elle n’est pas abso- 0 lument convergente. Z 1 0 F4bQue vautlim|f(t)|dt? + x→0 x F5Soientaetbdeux rels tels quea < betab60. Prouver quefn’est pas de longueur borne sur[a, b]. F6SoitJun intervalle deRnon vide et non rduit À un point. Dmontrer que l’applicationf| J est À variations bornes si et seulement si06∈J.

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G. GÉnÉralisation au cas n des fonctions À valeurs dansR

n Dans cette partie, on considre un entiern>2et on munitRde sa structure euclidienne canonique ; la norme euclidiennek∙kassocie est donc dfinie, pourx= n (x 1 , . . . , x n )∈R, par v i=n u X t 2 kxk=x . i i=1

On peut prolonger la dfinition introduite au dbut de la partie B, de fonction n de longueur borne aux fonctions À valeurs dansRde la manire suivante : n Etant donnèesaetbdansIaveca < betf∈ F(I,R), pourσ= (σ k ) 06k6p ∗ une subdivision de[a, b]avecp∈N, on pose :

i=p X `(σ, f) =kf(σ i )−f(σ i−1 )k. i=1

On dit quefest de longueur bornèe sur le segment[a, b]lorsqu’il existe Λ∈Rtel que pour toutσsubdivision de[a, b]on ait`(σ, f)<Λ. Sifest b de longueur bornèe sur[a, b], on dèfinit alorsL(f), la longueur deaÀb a def, par :

b L(f) = sup{`(σ, f)|σest une subdivision de[a, b]}. a σ

a b a De plus, on pose ègalementL(f) =−L(f)etL(f) = 0. b a a Dans cette partie, on considre deux lmentsaetbdeItels quea < b, et n f∈ F(I,R). Pouri∈ {1, . . . , n}, on notef i lai-ime composante def. Ainsi, pour toutt∈I, on af(t) = (f 1 (t), . . . , f n (t))(on remarquera quef i ∈ F(I,R)). n G1SoitRun automorphisme orthogonal deR. Montrer que sifest de longueur borne sur[a, b]alorsR◦fl’est aussi sur[a, b]et que :

b b L(R◦f) =L(f). a a

G2On suppose quefest de longueur borne sur[a, b]. Montrer que pour tout i∈ {1, . . . , n}, la fonctionf i est de longueur borne sur[a, b]et que :

b b L(f i )6L(f). a a

G3On suppose que pour touti∈ {1, . . . , n},f i est de longueur borne sur[a, b]. Dmontrer quefest de longueur borne sur[a, b]et que :

i=n X b b L(f)6L(f i ). a a i=1

G4Dmontrer quefest de longueur borne sur tout segment deIsi et seulement si pour touti∈ {1, . . . , n},f i est À variations bornes.

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