ISFA 2003 2eme epreuve de mathematiques option a

Description

I. S. F. A. 2003-2004 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures OPTION A Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 1°) Quelle est la période de la fonction f:(xf→=x)sinx ? Développer f en série de Fourier. En quels points f est-elle égale à la somme de sa série de Fourier ? 2°) Soit ϕ une fonction continûment dérivable sur un intervalle compact ab, . [ ]b Montrer que : lim ϕα(tt) cos( ) dt=0 ∫aα→+ ∞ puis en utilisant le résultat de la question 1 conclure que : bb2lim ϕλ(tt) sindt=ϕ(t)d . ∫∫πaaλ→+ ∞PROBLEME ∞ ∞On note C , le espace vectoriel des fonctions de classe C de dans . ()- I - ∞ Pour f ∈ C , et λ ∈ on considère la fonction ()DI− λ f définie pour x ∈ par ()′(DI−λ)f()x =fx −λf()x . ()∗ m ∞Puis pour chaque m ∈ DI−λ l’opérateur linéaire sur C (,) défini par ()DI−λoo()DI−λLo(DI−λ)m fois. ∗ ∞1°) Montrer par récurrence : pour tout m ∈ , tout f ∈ C (,) et tout x de : mxλ−mλx m mm()(DI−λ)f()x =eDf()xe où D est l’opérateur de dérivation d’ordre m : Dg()x =g ()x. ()()∗ ∞ m2°) Montrer que pour tout λ ∈ et tout m ∈ : f ∈ C (,) appartient au noyau de ()DI−λ si et seulement λxsi f est définie par : fx() =P()xe où P est un polynôme arbitraire, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à m-1. ∗3°) Pour m ∈ et λ∈ on note : mx,λλEf=→:(fx)=P(x)eoù P est un polynôme, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal {à m . ...

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• Publié par: shura
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A.  _________

   

1°)

 

2°)

 

 

 

1 ) °

2°)

3°)

 

2003

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES  _________________________________________ Durée : 4 heures

OPTION A Les calculatrices sont interdites.

EXERCICE

Quelle est la période de la fonction :x→f(x)=sinx?

2003-2004  _________

Concours d'Entrée  _______________

Développer fen série de Fourier. En quels pointsfest-elle égale à la somme de sa série de Fourier ?

Soitϕune fonction continûment dérivable sur un intervalle compact [ a,b. Montrer que : α l → im + ∫ a b ϕ(t) cos(αt)dt=0 ∞

puis en utilisant le résultat de la question 1 conclure que :

λ l → im + ∫ b a ϕ(t) sinλt dt = 2 π ∫ b a ϕ(t)dt . ∞

PROBLEME

∞ On noteC ∞ ( , ) leespace vectoriel des fonctions de classeCdedans.

- I -  

Pourf∈C ∞ ( , ) etλ ∈on considère la fonction (D− λI)fdéfinie pourx∈par ( (D− λI)f ) (x)=f ′ (x)− λf(x) . Puis pour chaquem∈ ∗  (D− λI) m  linéaire sur l’opérateurC ∞ (,)

(D− λI)o(D− λI)oLo(D− λI)mfois.

Montrer par récurrence : pour toutm∈ ∗ , toutf∈C ∞ (,) et toutxde:

défini

(D− λI) m f(x)=e λx D m f(x)e −λx oùD m est l’opérateur de dérivation d’ordrem:D m g(x)=g (m) (x) .

par

Montrer que pour toutλ ∈et toutm∈:f∈C ∞ (, () appartient au noyau deD− λI) m si et seulement

sifest définie par :f(x)=P(x)e λ oùPest un polynôme arbitraire, à coefficients complexes, de degré inférieur

ou égal àm-1. Pourm∈ ∗ etλ ∈on note : E m,λ =f:→f(x)=P(x)e λx oùPest un polynôme, à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal

àm.

Le résultat de la question précédente s’écrit donc :ker(D− λI) m =E m1,λ .