La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.
Problème On étudie dans ce problème la suite(Sn)dénie pourn>1par: n X 1 11 1 S= 1 ++ + +cest-à-direS= n n 2 2 4 9n p p=1 Dans lapartie I, on détermine la limiteSde la suite(Sn)les. Dansparties IIetIII, on explicite deux méthodes indépendantes permettant daccélérer la convergence de(Sn)versS.
Partie I On considère pour tout nombre entierp>0les deux intégrales suivantes: Z2Z2 2p2 2p Ip= cos(t)dt Jp=tcos (t)dt: 0 0 Jp 1. Convergencede la suite( ). Ip (a) Etablirlinégalité suivante pour tout nombre réelttel que06t6:t6sin(t). 2 2 1/4
2 (b) Etablirlinégalité suivante pour tout nombre entierp>0:06J6(II). p pp+1 4 (c) ExprimerIp+1en fonction deIpen intégrant par parties lintégraleIp+1. 02p+1 Indication:on pourra poseru(t) = cos(t)etv(t) = cos(t)dans lintégration par parties. Jp (d) Déduiredes résultats précédents quetend vers0quandptend vers+1. Ip
2. Convergenceet limite de la suite(Sn).
(a) ExprimerIen fonction deJetJen intégrant deux fois par parties lintégraleI(p>1). p pp1p (b) Endéduire la relation suivante pourp>1:
J J1 p1p =: 2 I I2p p1p
(c) CalculerJ0etI0, puis déterminer la limiteSde la suite(Sn).
Partie II On accélère ici la convergence de la suite(Sn)vers sa limiteSpar une méthode due à Stirling. On désigne par :
Elespace vectoriel des fonctions continues de]0;+1[dansRet de limite nulle en+1. fkla fonction deEdénie pour tout nombre entier naturelkpar: 1 1 f0(x) =etfk(x) =pourk>1: x x(x+ 1)(x+ 2) (x+k)
lapplication associant à toute fonctionfdeEla fonctionfdénie pourx >0par
1. Sommationde séries télescopiques.
(f)(x) =f(x+ 1)f(x):
(a) Etablirqueest un endomorphisme de lespace vectorielE. P (b) Etablir pour toute fonctionfappartenant àEla convergence de la série(f)(p)avecp>1et calculer pour tout nombre entier naturelnles sommes suivantes:
+1 X (f)(p) p=1
+1 X (f)(p): p=n+1
(c) Exprimerfk1en fonction deket defkpourk>1. P (d) Etablirpour tout nombre entier naturelk>1la convergence de la sériefk(p)et vérier pour tout nombre entier naturelnque:
+1 X 1 1 fk(p) =: k(n+ 1)(n+ 2) (n+k) p=n+1
2. Accélérationde la convergence de(Sn).
(a) Etablirla relation suivante pourp>1etq>1:
q X 1q! (k1)!fk(p) =fq(p): 2 p p k=1
2/4
(b) Endéduire linégalité suivante pourn>1etq>1: +1q X X 1 (k1)! (q1)! 066: 2 2 p k(n+ 1) (n+k) (n(+ 1)n+ 2) (n+q) p=n+1k=1 0 (c) Endéduire, lentierq>1étant xé, une suite(S)de nombres rationnels telle que: n 2 (q1)! 0 06S6: n 2 6 (n+ 1)(n+ 2) (n+q) 0 ExpliciterSet linégalité précédente lorsqueq= 2. n 0 (d) Ecrireen Pascal un algorithme calculant et a¢ chantSpourq= 2lorsquenest donné. n Partie III On accélère ici la convergence de la suite(Sn)vers sa limiteSen e¤ectuant un développement limité deSnsuivant 1 les puissances de. n n Pup n 1. Démontrerquil existe une et une seule suite de nombres réels(un)telle queu0= 1et= 0pour p! p=1 tout nombre entiern>2. Etablir que lesunsont rationnels et donneru1,u2,u3,u4sous forme de fraction irréductible. 2. Etudedes polynômes de Bernoulli. (a) Onconsidère la suite de polynômes(Un)dénie par: n X p unpx U0(x) = 1etUn(x) =pour tout nombre entiern>1: p! p=0 PréciserU1,U2,U3,U4. 0 MoU= ntrer quenUn1pourn>1etUn(0) =Un(1)pourn>2. (b) Onconsidère une suite de polynômes(Vn)dénie par: 0 VtV(0) =V(1)pour V0= 1;n=Vn1pourn>1en nn>2 Etablir queVn(p)(0) =Vnp(0)pour06p6net en déduire la formule suivante: n X p Vnp(0)x V(x) =: n p! p=0 Etablir la formule suivante pour tout nombre entiern>2: n X Vnp(0) = 0: p! p=1 Etablir enn queVn=Unpour tout nombre entier natureln. n (c) Endéduire légalitéUn(x) = (1)Un(1x)pour tout nombre entier natureln. Montrer alors queu2p+1= 0sip>1. 3. Accélérationde la convergence de(Sn). (a) Etablirpourp>1la relation suivante, dabord en supposantq= 1, puisq>1: 1 1 ZqZ X dx11 11 1U2q+1(x)dx ) +( +(2k)!u2k(= (2q+ 2)! 2 22 2k+1 2k+1 2q+3 (x+p) 2p(p+ 1)p(p(+ 1)x+p) k=1 0 0
3/4
(b) Endéduire linégalité suivante pourn>1etq>1: +1q X X 1 1 1(2k)!u2k(2q+ 1)!M2q+1 +6 2 22k+1 2q+2 p nn nn p=n+1k=1 oùM2q+2désigne le maximum de la fonction continuex7! jU2q+1(x)jsur le segment[0;1]. 00 (c) Endéduire, lentierq>1étant xé, une suite(S)de nombres rationnels telle que: n 2 (2q+ 1)!M2q+1 00 S6 2q+2 n 6n 00 ExpliciterSet linégalité précédente lorsqueq= 2. n 00 (d) Ecrireen Pascal un algorithme calculant et a¢ chantSpourq= 2lorsquenest donné. n