Mathématiques I 2001 Classe Prepa HEC (ECT) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2001
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 189
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS D’ADMISSION

Option technologique

MATHEMATIQUES I

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreruderssopelbirseldalanssumeaccllu.s´esultatsdeleurs Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel’´epreuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd’e´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilseraamen´ea`prendre.

Exercice 1 (Etude de placements) er Onplacesuruncomptere´mun´ere´autauxd’int´erˆetannuelde5%unesommeS n ardie’aelu1nvJa,pe0´ennsui er onverseau1Janvierdechacunedesann´eessuivanteslamˆemesommeS. Pour tout nombre entier naturelnra,ond´esignepS n alosmm(eni´tessiopndtoon)dduenntneeibsirpmocsteˆre er e`me sur ce compte au 1Janvier de lanemact.enee´nlpedna 1. Expressionde la sommeS n lp’raenmni´eereJbatnevniueeradeuon (a)Pre´ciserlessommesS 0 etS 1 . (b) Etablirpour tout nombre entier naturelnla relationS n+1 = 1.05S n +S. (c) Pourtout nombre entier natureln, on pose iciT n =S n + 20S. ExprimerT n+1 en fonction deT n riee´udui,pndseT n etS n en fonction deSet den. (d)De´terminerlapluspetitevaleurdel’entiernaturelnpour laquelleS n >15S. −2 Ondonneaceteffeta`10pre`sles´egalite´s:ln(35)=3,55,ln(21) = 3,04,ln(1,05) = 0,05. 2.Modificationdutauxd’int´ereˆtannuelduplacement Onreprendlasituationpr´ec´edente,maisletauxd’int´ereˆtannuelestmaintenante´gal`a10%(etnonplus`a 5%commepr´ec´edemment). (a) ExprimerS n+1 en fonction deS n uirede´dnesiup,S n en fonction deSet den. (b)D´eterminerlapluspetitevaleurdel’entiernaturelnpourlaquelleS n >15S. −2 Ondonnea`ceteffeta`10pr`esles´egalit´es:ln(25)=3,22,ln(11) = 2,40,ln(1,1) = 0,10.

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Exercice2(Etuded’une´equation) n Pour tout nombre entiern>`drele´’qeauitno(1,onconsiE n ) :x+x−ni’lnnocexeuerts1=`u0osdenahce´hcre [0,+∞.On´menteule[s(areiduteE n ontincfoladedeai’la`)eruaixiliaf: ln(1−x) f(x) = lnx 1.Existenceetunicite´d’uneracinepositivex n de (E n ) (a)R´esoudrel’e´quationpourn= 1 etn= 2 n ´ (b) Etudierles variations de la fonctionx7→x+x−1 sur [0,+∞[ pourn>1. End´eduirequeI’´equation(E n ) admet une et une seule racine positive qu’on noterax n , et montrer que 0< x n <1 pourn>1. 2. Etudede la fonction auxiliaire. (a)D´eterminerledomaineded´efinitiondefetleslimitesdef.iciedseulec´etrt´miaexux 0 (b) Calculeralorsf(xleteudridne´e)etednioatrivadeauleabf. 3. Etudede la suite (x n ) (a) Montrerquef(x n ) =npourn>1. (b)Montrerl’in´egalit´ex n < x n+1 pourn>1. (c)End´eduirelaconvergencedelasuite(x n unrsve)lr´ereembnoLecr´eristp,eedavalruelL.

Exercice3(Probabilite´s) 1.Calculspre´liminaires (a)Onconside`redeuxnombresentiersnaturelsqet n tels quen>q. q+1q q+1 Etablir queC+C=C n+1n+1n+2 n P q q+1 Enraisonnantparr´ecurrencesurn,ende´duirelaformulesuivante:C=C k n+1 k=q (b) Enfaisantq= 1,2,:setnaviussmeomssoitresed´erosiaftcisnorpseneexireu´edu3,end n nn X XX k k(k−1)k(k−1)(k−2) k=1k=2k=3 Onconsid`eredanstoutelasuitedecettepartieunnombreentiern>2 et une urne contenantnjetons num´erot´esde1a`n. 0nextraitdecetteurne2jetonstire´sauhasardetonde´signealorspar: Xs.´eum´edesnetitlusptsritenosej2ordsat´ealleabrivalapeltnauqidnierio Ygranddesntleplused2sejotun´mresoiaareablavldnieauqiae´lriotse´ritsn. 0n noteraE(X) etV(X), E(Y) etV(Y)ele´arespsetvancescesdrianavsebairaselae´lirtoesX, Y. 2.Loisdesvariablesale´atoiresXetY (a)Quelestlenombredeparties`a2´el´ementsd’unensemble`aj(respectivementnlee´´)?semtn 2(j−1) End´eduirelaprobabilite´P(Y6j) et montrer queP(Y=jpour 2) =6j6n. n(n−1) (b)Enraisonnantdemeˆme,de´terminerlesprobabilit´esP(X>i) etP(X=i) pour 16i6n−1. (c)Comparerlesloisdesvariablesale´atoiresn+1−XetY´esseedxurpbobaliti,areutntmetldiP(n+1−X= j) etP(Y=j) pour 26j6n. End´eduirequeE(n+ 1−X) =E(Y) etV(n+ 1−Y) =V(Y)send,puinoisedsexesesprdu´eelirE(X) en fonction deE(Y) et deV(X) en fonction deV(Y).

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