Mathématiques pour l'informatique 2009 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2009 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 23 juin 2010
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

Universit´eParisDiderot D´epartementdeSciencesExactes

MI3/MA3–Ann´ee2009/10 L2 Info et Mass

Partiel du 30 octobre 2009 : (fonctions,se´riesnume´riquesets´eriesdefonctions)

Exercice 1On rappelle queehtemagirudolabesreleadist`,c’egoleuqleterbmonigeslaned´e= 1. Soit la   n 1 suite (u n ) n>1 ´ediefinrpau n = 1+ . n 1. Montrerque limu n =e.   n 1 2. Montrerque la suiteu n de´dneteamaleriucrsteteanssoitionjora1+< e. [Indication : pour montrer n log(1+x) u n+1 >u n on pourra commencer par montrer que la fonctionf(x)=urpoteanssiorce´dtsex >0] x

Exercice 2melusoabernvcontuosetnegrevidessu´eritessivannoevnoctet,sgrnedessllessqueerlemrnie´etD gentes.     2n 3n X XX X 1 cos(n) (−1) n cos ;; ; n2 n3n n−n n>1n>0n>1n>2

Exercice 3On pose dans cet exercice n∞ X X 1 1 S n := etS:= 3 3 k k k=1k=1 Enappliquantunecomparaisoninte´grale/s´erie,montrerque 1 0< S−S n 6. 2 2n

Exercice 4D´ieersetcnegrevnre´ssedeerrlnemicodeonay ∞ ∞ 3 2n X X (n!)x n xet n (n+ 1)!(2n)! 3 n=0n=0

Exercice 5e´dntinfifseltcnoionsde[0O,+∞) versR: x1 f n (x) =etg(t) =. 2 22 1 +n x1 +t P 1.Montrerquelase´rief n (x) converge simplement sur [0,+∞). n>0 P 2.Montrerquelas´erief n (x) converge normalement sur [a,+∞) (pour touta >0). n>0 P 3.End´eduirequelafonctiond´efinieparlase´rieS(x) :=f n (x) est continue sur ]0,+∞). n>0 4.Montrerlesine´galite´s ∞ Z ∞ +∞ X X 1dt1 6 61 + 2 22 22 2 1 +n x1 +t x1 +n x 0 n=1n=1 5. Montrerque Z Z +∞+∞ dt1π =g(t)dt=. 2 2 1 +t xx2x 0 0 Ende´duireque,lorsquexore´zsreano,endvt π limS(x) =, 2 x→0 et en particulier queS(x) n’est pas continue en 0.