UTBM 2004 mt12 integration algebre lineaire fonctions de plusieurs variables tronc commun semestre 2 final

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• Publié par: shura
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N le 17 Juin 2004 UTBM MT12 Arthur LANNUZEL Examen final Printemps 2004 Chaque exercice sera r´edig´e sur une feuille diff´erente. Les calculatrices sont interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 manuscrite. Exercice 1 1) On consid`ere le syst`eme lin´eaire suivant : 8 m:x+ (m¡1):y +(m+1):z =a< m:x +(m+1):z =b : (m¡1):y +(m+1):z =c 0 1 a 3@ APour quels m a-t-on une solution quel que soit b 2R ? Expliquer. c 2) Grˆace `a un changement de variable, donner toutes les primitives de : 5x 4x 3x 2xe ¡2:e ¡e +2:e 4xe ¡1 3) D´eterminer une ´equation diff´erentielle admettant 1x 2xfe + +(C +C :x):e ;C ;C 2Rg1 2 1 24 comme ensemble de solutions. Expliquer. Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) Grˆace `a la d´efinition de l’int´egrale de Riemann, montrer que la suite (S ) de termen n2 g´en´eral k=n¡1X n S =n 2 2n +k k=0 admet une limite lorsque n tend vers +1 et calculer cette limite. Justifier. TOURNERLAPAGES.V.P. 1Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) Soit l’application lin´eaire donn´ee dans la base canonique par 3 3f : R ¡! RA 0 1 0 1 x x @ A @ Ay 7! A: y z z 0 1 2 3 ¡3 @ Aou` A= 3 1 ¡2 . 3 2 ¡3 1) Trouver le polynˆome caract´eristique de f . En d´eduire ses valeurs propres.A 2) Trouver une base des sous-espaces propres. 0 1 a 0 0 3 @ A3) Trouver une base B deR telle que T :=M = 0 b 1 avec a;b2R.f ;BA 0 0 b ¡1En d´eduire P telle que P:T:P =A. 4) R´esoudre le syst`eme diff´erentiel 8 0< y = 2:y +3:y ¡3:y +x1 2 31 0y = 3:y +y ¡2:y +x1 2 32: 0y = 3:y +2:y ¡3:y +x1 2 33 2