UTBM integration algebre lineaire fonctions de plusieurs variables 2008 tc

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1le 12 Novembre 2008 UTBM MT12M¶edian Printemps 2008Calculatrices et documents interdits.Chaque exercice doit ^etre r¶edig¶e sur une feuille difi¶erenteExercice 1 - 8 points1) Soit unK-espace vectoriel E. D¶emontrer que pour ...

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• Publié par: shura
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le 12 Novembre 2008UTBM MT12

M´edianPrintemps2008 Calculatrices et documents interdits. Chaqueexercicedoitˆetrer´edige´surunefeuillediffe´rente

Exercice 1- 8 points 1) Soit unK-espace vectorielEuorertrepquD´.onemλ∈Ketx∈E, λ.x= 0⇐⇒(λ= 0ou x= 0).

1

2) Soient deuxK-espaces vectorielsEetF. Soitf:E−→Filppitacilnoae´nire.Soiteaun −1 Gun sous espace vectoriel deF. Montrer quef(G)est un sous-espace vectoriel deE. 2 3 3)De´terminer,danslesbasescanoniques,lamatricedel’applicationline´airef:R−→R    µ ¶µ ¶ 1 3 1 1    telle quef( ) = 2 et f( ) = 2 . 1 2 3 1 0 4) Peut-on trouver 2 bases distinctesBetBdeR 2 [X]´enndoordeesllseetseocuqle   1   20 P(X) = 2−X+XdansBetBsoient 1 ? Si oui, donner un exemple, sinon, 1 justifier.     x01 2x     3 5) Soitfl’endomorphisme deRde´arfinipf( y ) = 1 11. y . z−1 2 2z a)Quelleestlede´terminantdel’endomorphismeg=f−3.Id R dnE?ilu’isteexdu´eeqir 3 3 V∈Rtel quef(V) = 3.V. 3 b)Ende´duireunebaseBdeRtelle que la matrice defdans cette base soit de la forme   3a b   M f,B = 0 . c d 0e f

Exercice 2(NOUVELLE FEUILLE)- 6 points Soit unK-espace vectorielEde dimensionn. Soientfetgdeux endomorphismes deE. 1) Supposonsf◦g= 0. Etablir une relation entre le rang def, le rang degetn. 2) Supposonsf◦f= 0. Quel est le rang maximum def? 3) Montrer que n Im(f) =Ker(f)⇐⇒(n pair,rang(f) =et f◦f= 0). 2

4 4) Donner la matrice d’un endomorphisme deRmunidesabcesanonaeuqie´v,fiarint Im(f) =Ker(f).

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