Bac 2022 - corrigé Mathématiques

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• Publié par: LeParisienEtudiant
• Publié le: 12 mai 2022
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• Langue: Français

Extrait

Métropole - Sujet 1

M. NASSIRI

Baccalauréatpage 1/ 10

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

Session 2022

MATHÉMATIQUES

Epréuve de Spécialité - Sujet 1

DURÉE DE L’ÉPREUVE :4 heures– COEFFICIENT :16

Ce corrigé comporte sept pages numérotées de 1/10 à 10/10
O R R I G É
Le candidat devait traiter3 exercices parmi les 4communs à tous les candidats.
Lusage de la calculCatrice sans mémoire, « type collège », était autorisé.
Lusage de la calculatrice avec mode examen actif était autorisé.

Le candidat était invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplète ou non fructueuse, quil aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements étaient prises en
compte dans lappréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou
infructueuses, étaient valorisées.

Aménagements 2022 :
•Chaque exercice était noté sur 7 points ;
•La note finale est ramenée sur 20 ;
•Afin déclairer le candidat, le sujet indique au début de chaque exercice les principaux
domaines abordés..

Page 1

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Métropole - Sujet 1

EX E R C I C E1 - 7P O I N T S

Baccalauréatpage 2/ 10

TH È M E S:E X P O N E N T I E L L EF O N C T I O N,S U I T E S.

Dans le cadre dun essai clinique, on envisage deux protocoles de traitement dune maladie. Lobjectif decet exercice
est détudier, pour ces deux protocoles, lévolution de la quantité de médicament présente dans le sang dun patient en
fonction du temps.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude du premier protocole

Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient. On modélise la
quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonctionfdéfinie sur l’intervalle
−0,5t+1
[0; 10]parf(t)=3t e, oùtdésigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.

1.

2.

′ ′
a.On admet que la fonctionfest dérivable surl10] et on noteintervalle [0;fsa fonction dérivée. Montrer
′ −0,5t+1
que, pour tout nombre réeltde [0;10], on a :f(t)=3(−0, 5t+1)e.
′
La fonctionf10] et on noteest dérivable sur l’intervalle [0;f. Ainsi, pour tout nombre réeltde [0;10], on
a :

′ −0,5t+1−0,5t+1−0,5t+1
f(t)=3×e+3t×(−0, 5)e=3(−0, 5t+1)e

b.En déduire le tableau de variations de la fonctionf10].sur l’intervalle [0;
′
En remarquant que le signe def(t) ne dépend que du signe de−0, 5t+1, on dresse le tableau de variations
def:

x

′
Signe def(t)

Variations de
′
f

0

0

−

2

0

6

+

10

≃0.55

c.Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang
du patient sera-t-elle maximale? Quelle est alors cette quantité maximale ?
Selon cette modélisation, la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera maximale au
bout de 2 heures. Cette quantité maximale sera de 6 mg.
a.Montrer que l’équationf(t)=2], notée5 admet une unique solution sur l’intervalle [0;α, dont on donnera
−2
une valeur approchée à 10près.
La fonctionfest continue, strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 2] et 5∈[f(0) ;f(2)], donc d’après le
corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut dire que l’équationf(t)=5 admet une unique
solutionαsur [0 ; 2].
Á l’aide de la calculatrice graphique (ou d’un algorithme de balayage), on trouveα≃1, 02

On admet que l’équationf(t)=5 admet une unique solution sur l’intervalle [2; 10], notéeβ, et qu’une valeur
−2
approchée deβà 10près est 3,46.

b.On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du
patient est supérieure ou égale à 5mg.
Déterminer, à la minute près, la durée d’efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.
D’après les questions précédentes, on en déduit que la durée defficacité du médicament dans le cas de ce
protocole estβ−α=3, 46−1, 02=2, 44heures, soit 2 heures et 26 minutes.

M. NASSIRI

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Métropole - Sujet 1

Partie B : Étude du deuxième protocole

Baccalauréatpage 3/ 10

Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de 2 mg de
médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de 1,8 mg.

On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé.

On estime que lorsqu’une heure s’est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué
de 30% par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.

On modélise cette situation à l’aide de la suite (un) où, pour tout entier natureln,undésigne la quantité de
médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de lan-ème heure. On a
doncu0=2.
1.Calculer, selon cette modélisation, la quantitéu1de médicament (en mg) présente dans le sang du patient
immédiatement après l’injection de la première heure.
Selon cette modélisation, on a :
( )
30
u1=1− ×u0+1, 8=0, 7×2+1, 8=3, 2
100

La quantitéu1de médicament présente dans le sang du patient immédiatement après linjection de la première
heure est de 3,2 mg
2.Justifier que, pour tout entier natureln, on a :un+1=0, 7un+1, 8.
( )
30
Puisque la quantité de médicament dans le sang diminue de 30 %, on multiplie par le coefficient1− =
100
0, 7,et, il faut réinjecter toutes les heures une dose de 1,8 mg. Donc, pour tout entier natureln, on a :

3.

un+1=0, 7un+1, 8

a.Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :un≤un+1<6.
Montrons par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :un≤un+1<6.
Initialisation :
On au0=2,u1=3, 2.
Donc,u0≤u1<6. L’initialisation est donc vérifiée.

Hérédité :On suppose que la proposition est vraie pour un certaink∈N, montrons qu’elle est vraie au rang
k+1.
Par suite,

u≤u<6
k k+1

⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒

0, 7×uk≤0, 7×uk+1<0, 7×6
0, 7×u≤0, 7×u<4, 2
k k+1
0, 7+1, 8×uk≤0, 7+1, 8×uk+1<0, 7×4, 2+1, 8
uk+1≤uk+2<6

On a donc montré, par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :un≤un+1<6.
b.En déduire que la suite (un) est convergente. On noteℓsa limite.
Comme la suite (un) est croissante (pour tout entier natureln,un≤un+1)) et majorée (pour tout entier
natureln,un<6), alors d’après le théorème de convergence monotone, la suite (un) converge. vers une
limite fixeℓ.
c.Déterminer la valeur deℓ. Interpréter cette valeur dans le contexte de I’exercice.
Comme la suite (un) converge. vers une limite fixeℓ, d’après le théorème du point fixe, on a

ℓ=0, 7ℓ+1, 8

Doncℓ=6.
Dans le contexte de lexercice, cela signifie que la quantité de médicament présente dans le sang du patient
tend vers 6 mg.

M. NASSIRI

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Métropole - Sujet 1

Baccalauréatpage 4/ 10

4.On considère la suite (vn) définie, pour tout entier natureln, parvn=6−un.
a.Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,7 dont on précisera le premier terme.
Pour tout entier natureln,

vn+1=6−un+1=6−(0, 7un+1, 8)=0, 7un+4, 2=0, 7 (un−6)=0, 7vn

La suite (vn) est géométrique, de raisonq=0, 7et de premier termev0=6−2=4.
b.Déterminer l’expression devnen fonction den, puis deunen fonction den.
n
Pour tout entier natureln, on a doncvn=4×.0, 7
n
Commevn=6−un, on a doncun=6−vn=6−4×0, 7.
c.Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du
patient est supérieure ou égale à 5,5mg.
Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d’injections réalisées en appliquant ce protocole.
On cherchentel queun⩾D’où,5, 5.

un⩾5, 5

⇐⇒

n
6−4×0, 7⩾5, 5

⇐⇒
⇐⇒

⇐⇒

n
0, 7⩽0, 125
nln(0, 7)⩽ln(0, 125)
ln(0, 125)
n⩾≃5, 83
ln(0, 7)

Le nombre dinjections réalisées en appliquant ce protocole est de 6.

M. NASSIRI

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Métropole - Sujet 1

EX E R C I C E2 - 7P O I N T S
⃗
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé (O;⃗ı,⃗,k), on considère :
- le pointAde coordonnées (−1; 1; 3),

x=1+2t

- la droiteDdont une représentation paramétrique est :y=2−t,t∈R.

z=2+2t

On admet que le pointAn’appartient pas à la droiteD.

1.

a.Donner les coordonnées d’un vecteur directeuru⃗de la droiteD.
 
2
#»
 
Un vecteur directeur deDestu= −1 .
2
b.Montrer que le pointB(−1; 3; 0)appartient à la droiteD.
On résout, ent, le système suivant :
 
xB=1+2t−1=1+2t
 
y=2−t⇐⇒3=2−t⇐⇒
B
 
 
zB=2+2t0=2+2t

Baccalauréatpage 5/ 10

TH È M E S:G É O M É T R I ED A N SL E S PAC E


−t= −1

t= −1


t= −1

On trouve la même valeur detpour les trois équations. Donc le pointB(−appartient à la droite1; 3; 0)D.
−→
c.Calculer le produit scalaireAB∙⃗u.
# »
On calcule d’abord les coordonnées du vecteurAB:
   
x−x−1−(−1) 0
B A
# »
   
AB=B A=3−1=2
y−y
zB−zA0−3−3

Par suite,

  
0 2
# »
#»
  
AB∙u=2∙ −1=0×2+2×(−1)+(−3)×2= −8
−3 2

2.On notePle plan passant par le pointAet orthogonal à la droiteD, et on appelleHle point d’intersection du
planPet de la droiteD. Ainsi,Hest le projeté orthogonal deAsur la droiteD.
a.Montrer que le planPadmet pour équation cartésienne : 2x−y+2z−3=0.
#»
CommeDest orthogonal au planP, le vecteuru(qui est un vecteur directeur deD) est normal au plan.
On a donc
2x−y+2z+d=0

avecdà déterminer.
Or,A∈P, d’où

2xA−yA+2zA+d=0

⇐⇒

2×(−1)−1+2×3+d=0

Le planPadmet donc pour équation cartésienne 2x−y+2z−3=0.
( )
7 19 16
b.En déduire que le pointH.; ;a pour coordonnées
9 99
Trouver l’intersection revient à résoudre le système


x=1+2t


y=2−t
z=2+2t


2x−y+2z−3=0

⇐⇒


x=1+2t


y=2−t
z=2+2t


2(1+2t)−(2−t)+2(2+2t)−3=0

( )
7 19 16
Ainsi,H; ;(projeté orthogonal deAsur le planP).
9 99

M. NASSIRI

Page 5

⇐⇒

d=3

⇐⇒


7
x=
9
19


y=
9
16
z=
9
1


t= −
9

Métropole - Sujet 1

c.Calculer la longueurA H. On donnera une valeur exacte.

√
2 2 2
A H=(xH−xA)+(yH−yA)+(zH−zA)
√
p
( )( )( )
2 22
7 1916 53
= −(−1)+ −1+ −3)=
9 99 3

Baccalauréatpage 6/ 10

3.Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du pointH, projeté orthogonal du pointAsur
la droiteD, par une autre méthode.
On rappelle que le pointB(−appartient à la droite1; 3; 0)Det que le vecteuru⃗es