QCM limites de fonctions, graphe probabiliste et matrice de transition , droite d'ajustement affine et estimation. Sujet du bac 2009, Terminale ES, Afrique
Bac ES – Centres trangers – juin 2009 EXERCICE 1(4 points)Commun tous les candidatsCet exercice est un questionnaire choix multiples. Pour chacune des quatre questions proposes, une seule des trois rponses A, B et C est exacte. Recopier le numro de chaque question et, en face de celui-ci, indiquer la lettre (A, B ou C) dsignant la rponse qui convient. Aucune justification nest demande. Barme : Une rponse exacte rapporte 1 point, une rponse fausse enlve 0,5 point. Une question sans rponse ne rapporte ni nenlve aucun point. Si le total des points est ngatif, la note attribue lexercice est ramene 0. −x 1)limxe est gale : x→ − ∞ Rponse A: 0. Rponse B:+∞. Rponse C:−∞. 2)On considre une fonctionudfinie, strictement positive et drivable sur un intervalle I. On noteu sa drive. On considre la fonctiondfinie pour tout nombre relxappartenant I par : (x) = ln(u(x)). Si lon suppose queu est ngative sur I alors : Rponse A: on ne peut pas dterminer le sens de variation de la fonction. Rponse B: la fonctionest dcroissante sur I. Rponse C: la fonctionest croissante sur I. 3)Dans lintervalle ]0 ;+∞[, lensemble des solutions de linquation 2lnx– 1 > 1 est : 1 Rponse A;: ] +∞[. 2 Rponse B: ] 1 ;+∞[. Rponse C: ] e ;+∞[. 2xx 4)Dans– 3 = 0 :+ 2 e , lquation e Rponse A: admet une unique solution. Rponse B: admet exactement deux solutions. Rponse C: nadmet aucune solution.
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EXERCICE 2(5 points)Candidats nayant pas suivi lenseignement de spcialitUn collectionneur de pices de monnaie a observ que ses pices peuvent prsenter au maximum deux dfauts notsaetb. Il prlve au hasard une pice dans sa collection. On noteAlvnement : « Une pice prleve au hasard dans la collection prsente le dfauta». On noteBlvnement : « Une pice prleve au hasard dans la collection prsente le dfautb». On noteAetBles vnements contraires respectifs deAetB. On donne les probabilits suivantes :p(A) = 0,2 ;p(B) = 0,1 etp(AB) = 0,25. Dans cet exercice, toutes les valeurs approches des rsultats demands seront arrondies au centime. Premire partie 1)Dmontrer que la probabilit de lvnement : « une pice prleve au hasard dans la collection prsente les deux dfauts » est gale 0,05. 2)Les vnementsAetBsont-ils indpendants ? Justifier la rponse. 3)Dmontrer que la probabilit de lvnement : « une pice prleve au hasard dans la collection ne prsente aucun des deux dfauts » est gale 0,75. 4)Le collectionneur prlve au hasard une pice parmi celles qui prsentent le dfautb. Calculer la probabilit que cette pice prsente galement le dfauta. 5)Le collectionneur prlve au hasard une pice parmi celles qui ne prsentent pas le dfautb. Calculer la probabilit que cette pice prsente le dfauta.Deuxime partie On prlve au hasard trois pices dans la collection et on suppose que le nombre de pices de la collection est suffisamment grand pour considrer ces trois prlvements comme tant indpendants. 1)Calculer la probabilit quune seule des trois pices soit sans dfaut. 2)Calculer la probabilit quau moins une des trois pices soit sans dfaut.
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EXERCICE 2(5 points)Candidats ayant suivi lenseignement de spcialitChaque mois, un institut de sondage donne la cote de popularit dun mme groupe politique dans lopinion publique. Les personnes sondes sont, soit favorables, soit dfavorables ce groupe. Initialement, il y a autant de personnes favorables ce groupe politique que de personnes qui lui sont dfavorables. De chaque mois au mois suivant, on considre que : 10 % des personnes qui taient favorables ce groupe politique ne le sont plus. 15 % des personnes qui ntaient pas favorables ce groupe politique le deviennent. On note, pour tout entier natureln: an, la probabilit quune personne interroge au hasard au bout denmois soit favorable ce groupe politique. bn, la probabilit quune personne interroge au hasard au bout denmois ne soit pas favorable ce groupe politique. Pn= (anbn), la matrice traduisant ltat probabiliste au bout denmois. On noteMla matrice de transition telle que, pour tout entier natureln:Pn+1=PnM. Premire partie 1)Dterminer la matriceP0donnant ltat probabiliste initial. 2)Dterminer le graphe probabiliste correspondant la situation. 0,9 0,1 3)On admet queMDterminer la matrice= . P2en dtaillant les calculs (on 0,15 0,85 donnera les coefficients sous forme dcimale arrondie au centime). 4)Dterminer ltat stable et interprter ce rsultat. Deuxime partie 1)Montrer quean+1= 0,75an+ 0,15 pour tout entier natureln. 2)On considre la suite (un) telle queun=anpour tout entier naturel– 0,6 n. a)Dmontrer que la suite (un) est gomtrique de raison 0,75. n b)En dduire queunpour tout entier naturel= –0,1(0,75) + 0,6 n. c)Calculer la limite deanquandntend vers+∞. Comment peut-on interprter cette limite ? En quoi ce rsultat est-il cohrent avec celui demand la question4)de la premire partie.
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EXERCICE 3(6 points)Commun tous les candidatsUne exploitation minire extrait un minerai rare dans ses gisements depuis lanne 1963. Le tableau suivant indique la quantit extraiteyien tonnes durant lanne dsigne par son rangxi: Anne 1963 1968 1973 1978 1983 1988 1993 1998 2003 2008 Rangxide 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 lanne Quantit extraite 18,1 15,7 13,3 11 9,3 7,8 7,1 6,1 5,2 4,3 yien tonnes Le nuage de points associ cette srie statistique deux variables est reprsent dans le repre orthogonal (O ; I, J) delannexe 1. Les units graphiques de ce repre sont 1 cm en abscisse et 0,5 cm en ordonne. Dans cet exercice, on dsigne par la variableyla quantit extraite en tonnes et par la variablexle rang de lanne. Premire partie En premire approximation, on envisage de reprsenteryen tant que fonction affine dex. La droiteDdajustement affine deyenxobtenue par la mthode des moindres carrs admet pour quationy= –1,5x+ 16,5 dans laquelle les deux coefficients sont des valeurs arrondies au dixime. 1)Dterminer les coordonnes du point moyen G du nuage et placer ce point dans le repre delannexe 1. 2)Tracer la droiteDdans le repre delannexe 1. 3)En considrant cet ajustement affine, quelle quantit de minerai, au dixime de tonne prs, lexploitation peut-elle prvoir dextraire durant lanne 2013 ? Deuxime partie On admet que la courbe trace enannexe 1reprsente un ajustement exponentielle deyen px fonction dexet que son quation est de la formey=ke okest un entier naturel etpun nombre rel. 1)En utilisant cette courbe, lire la quantit de minerai extrait, au dixime de tonne prs, que lajustement exponentiel laisse prvoir pendant lanne 2013. 2)En supposant que la courbe passe par les pointsA(0 ; 18) etB(3 ; 11,2), calculer lentier naturelket le relpdont on donnera une valeur approche arrondie au centime.
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Troisime partie On effectue le changement de variablez= lnyet on posez= lnyi. i 1)Recopier et complter le tableau suivant en donnant une valeur approche de chaque rsultat arrondie au centime : xi1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 zi2) laide de la calculatrice et en donnant une valeur approche de chaque coefficient arrondie au centime, dterminer une quation de la droite dajustement affine dezenxobtenue par la mthode des moindres carrs. px 3)En dduire lexpression deyen fonction dexsous la formey=kretrouver ainsi, ene et arrondissantkau dixime, les coefficientsketpcalculs la question2)de la deuxime partie. ANNEXE 1 ( remettre avec la copie)