Baccalauréat C Algérie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Algérie juin 1990 \ EXERCICE 1 3,5 POINTS Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??ı , ??? ) ; on choisit 1 cm pour unité. On considère le cercle (C1) de centre O et de rayon 8 et le cercle (C2) de centre O et de rayon 2. ? étant un nombre réel, on considère le point I de (C1) tel que : (?? ı , ??OI ) =?modulo2pi et le point J de (C2) tel que : (?? ı , ??OJ ) =??modulo2pi On appelle M le milieu du segment [IJ]. 1. Représenter les cercles (C1) et (C2) ; placer I, J et M en choisissant?= pi3 . 2. Dans cette question? est un réel quelconque. a. Calculer, en fonction de?, les coordonnées des points I, J et M. b. Soit (E) l'ensemble des points M quand ? décrit R ; démontrer que la tangente en M à (E) est la médiatrice du segment [IJ]. c. Préciser la nature de (E) et écrire une équation cartésienne de (E). d. Tracer (E) sur la figure de la 1re question. EXERCICE 2 4,5 POINTS Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) .

• affixe du point commun


• point d'abscisse ?


• ?z ?


• représentation graphique


• repère orthonormal direct

Sujets

• Représentation graphique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1990
• Nombre de lectures: 50
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Algérie juin 1990\

E X E R C IC E 1 3,5 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormal directO,ı,; on choisit 1 cm pour unité. On considère le cercle (C 1 ) de centre O et de rayon 8 et le cercle (C 2 ) de centre O et de rayon 2. Ψétant un nombre réel, on considère le point I de (C 1 ) tel que : ³ ´ −→−→ ı, OI=Ψmodulo 2π et le point J de (C 2 ) tel que : ³ ´ −→−→ ı, OJ= −Ψmodulo 2π On appelle M le milieu du segment [IJ]. π 1.Représenter les cercles (C 1 ) et (C 2 ) ; placer I, J et M en choisissantΨ=. 3 2.Dans cette questionΨest un réel quelconque. a.Calculer, en fonction deΨ, les coordonnées des points I, J et M. b.Soit (E) l’ensemble des points M quandΨdécritR; démontrer que la tangente en M à (E) est la médiatrice du segment [IJ]. c.Préciser la nature de (E) et écrire une équation cartésienne de (E). re d.Tracer (E) sur la figure de la 1question.

E X E R C IC E 2 4,5 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. Soit A le point d’affixe−2+3i et B le point d’affixe 1−3i. ′ SoitMle point d’affixez,z6= −2+3i ; àzon associe le nombre complexeztel que : z−1+3i ′ z=. z+2−3i ³ ´ −−→−−→ ′ 1. a.Établir une relation entre un argument dezet l’angle orientéMA ,MB . b.Déterminer et construire l’ensemble (E 1 ) des pointsMdu plan tels que π ′ z.ait pour argument 2 2.Déterminer et construire l’ensemble (E 2 ) des pointsMdu plan tels que ′ ¯ ¯ z=2. 3.Déterminer l’affixe du point commun K à (E 1 ) et (E 2 ).

P R O B L È M E 12 P O IN TS Toutes les représentations graphiques demandées seront effectuées sur la même fi ³ ´ −→−→ gure, dans un plan (P) rapporté à un repère orthonormalO,ı,(unité : 4 cm).

A.On considère la fonction numériquefdéfinie sur [0 ;+∞[ par : ( x+2 f(x)=xln sixappartient à]0 ;+∞[ x f(0)=0.

Le baccalauréat de 1990

A. P. M. E. P.

1. a.Montrer quefa pour limite 0 en 0. b.festelle dérivable en 0 ? c.En posant 2 h=(x>0), x trouver la limite def(x) quandxtend vers+∞. ′ 2. a.Pourxappartenant à ]0 ;+∞[, calculerf(x) et vérifier que 4 ′′ f(x)= −. 2 x(x+2) ′ ′ b.Étudier le sens de variation def, et trouver la limite def(x) quandx ′ tend vers+∞. En déduire le signe def. c.Dresser le tableau des variations def 3.On appelle (C) la représentation graphique defdans le plan (P) rapporté au ³ ´ −→−→ repère O,ı,. Tracer (C) en indiquant la tangente au point O et le point A d’abscisse 2. 4.Soitula fonction numérique définie sur [0 ;+∞[ par 2x u(x)= x+2 ³ ´ −→−→ et (H) sa représentation graphique dans le plan (P) rapporté au repèreO,ı,. a.Dresser le tableau de variations deu. b.Vérifier que pour x appartenant à ]0 ;+∞[ on a :

′ f(x)−u(x)=x f(x).

En déduire la position relative de (C) et de (H). Tracer (H) en indiquant le point B d’abscisse 2. c.λétant un réel strictement positif, montrer que la tangente à (C) au point d’abscisseλ. rencontre l’axe des ordonnées au point J d’ordonnéeu(λ). En déduire à l’aide du tracé de (H) la détermination de la tangente à (C) au point d’abscisseλ. Tracer de cette façon la tangente à (C) en A.

B.On se propose de déterminer l’ensemble (E) des fonctionsg, définies et dérivables sur ]0 ;+∞[, et possédant la propriétéPsuivante : Pour toutxappartenant à ]0 ;+∞[,

2x ′ g(x)−x g(x)= x+2 gétant une fonction définie et dérivable sur ]0 ;+∞[, on pose, pour toutxapparte nant à ]0 ;+∞[,

g(x) G(x)= x 1.Montrer quegpossède la propriétéPsi et seulement si : pour toutxapparte nant à ]0 ;+∞[,

2.En déduire l’ensemble (E).

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1 1 ′ G(x)= −. x+2x

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Le baccalauréat de 1990

A. P. M. E. P.

C.kétant un réel, on considère la fonction numériquef k définie sur [0 ;+∞[ par : ½ f k (x)=f(x)+k xsixappartient à ]0 ;+∞[ f k (0)=0. On appelle (C k ) la représentation graphique def k dans le plan (P) rapporté au re ³ ´ −→−→ père O,ı,. 1.On supposekstrictement positif. Donner le tableau des variations def k . 2.On suppose dans cette question quekest strictement négatif. ′ a.En utilisant les variations defl’obtenues dans A. 2. b., montrer que ′ l’équationf(x)=0 admet dans ]0 ;+∞[ une solution unique notéev k . k b.Dresser le tableau de variations def k . c.On noteI k le point de (C k ) d’abscissev k . Montrer queI k appartient à (H) (on pourra utiliser la propriétéPt).

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