Baccalauréat C Côte d'Ivoire juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Côte d'Ivoire juin 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS On sait que : { 103?1= 9?111 103+1= 7?11?13 Pour n ?N, soit A = 109n +2 ·106n +2 ·103n +1. 1. Quel est le reste de la division de A par 111 ? 2. On suppose n impair. Montrer que A est divisible par 7, par 11 et par 13. 3. On suppose n pair. a. Montrer que A?6 est divisible par 7, par 11 et par 13. b. Quel est le reste de la division de A par 111?1001 ? EXERCICE 2 5 POINTS Dans l'espace vectoriel sur R de dimension 3, rapporté à la base (?? ı , ??? , ??k ) , on dé- finit une application linéaire pour les égalités suivantes où (a ; b)? XR+?R. ? ? ? ? ? ? ? ? ? f (?? ı ) = ??ı f (?? ? ) = a??? +b ?? k f (?? k ) = a??? ?b ?? k 1. Calculer a et b pour que f soit une symétrie vectorielle ; préciser l'ensemble image et la direction. 2. Calculer a et b pour que f soit un projecteur (c'est-à-dire une application li- néaire telle que f ? f = f ).

• courbe représentative de gn dans le plan euclidien


• fn


• sition relative des points


• points question préliminaire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1977
• Nombre de lectures: 42
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Côte d’Ivoire juin 1977\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS ½ 3 10−1=9×111 On sait que : 3 10+1=7×11×13 9n6n3n Pourn∈N, soitA=10+2∙10+2∙10+1. 1.Quel est le reste de la division deApar 111 ? 2.On supposenimpair. Montrer queAest divisible par 7, par 11 et par 13. 3.On supposenpair. a.Montrer queA−6 est divisible par 7, par 11 et par 13. b.Quel est le reste de la division deApar 111×1 001 ?

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS ³ ´ −→−→ −→ Dans l’espace vectoriel surRde dimension 3, rapporté à la baseı,,k, on dé finit une application linéaire pour les égalités suivantes où (a;b)∈XR + ×R.  ³ ´ −→−→ f ı=ı   ³ ´ −→−→ −→ f=a+b k ³ ´ −→ −→ −→   f k=a−b k 1.Calculeraetbpour quef; préciser l’ensemblesoit une symétrie vectorielle image et la direction. 2.Calculeraetbpour quefsoit un projecteur (c’estàdire une application li néaire telle quef◦f=f). Indiquer dans chaque cas l’ensemble des vecteurs invariants et la direction. ³ ´ −→−→ −→ 3.En supposant que l’espace vectoriel est euclidien et la baseı,,kortho normée, calculeraetbpour quefsoit une rotation. On donnera l’axe et une mesure de l’angle de cette rotation.

P R O B L È M E Question préliminaire : Soitula fonction numérique de la variable réellexdéfinie par

11 P O IN TS

u(x)=Log (1+x) Log (1+x) Log (1 + x) En étudiant la dérivabilité deuau point 0 (zéro), montrer que x possède une limite quandxtend vers 0. · µ ¶¸ 1 En déduire quelimx.Log 1+ =1. x→+∞ x µ ¶ x 1 Calculer lim1+ x→+∞ x Partie A Pourn∈N, on considère la fonction numériquef n de la variable réellexdéfinie par n f n (x)=x(1−x).

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

1.Étudier la variation def. Montrer que l’équation dansR:f n (x)=1 a une seule solution ou aucune sui vant la parité den. 2.Montrer que, sauf pour certaines valeurs particulières den, les courbes repré sentatives def n ont deux points communs et ont même tangente en chacun de ces points. Partie B On se limite dorénavant à la restrictiong n def n à l’intervalle [0 ; 1] :

n ∀x∈[1 ;1],g n (x)=x(1−x) On appelle (C n ) la courbe représentative deg n dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé.

1.Montrer que, sauf pour une valeur den,g n possède un maximumM n et que 1 1 M n = ∙ µ ¶ n n+ 1 1 1+ n ³ ´ −→−→ 2.Tracer (C 0 ( ) ,C 1 ( ) ,C 2 ) relativement à un repèreO,ı,. Donner l’allure de ( C n ) pourn > 2 ; placer (C n+1 ) ,par rapport à (C n sur un même schéma (po) , sition relative des points de même abscisse et des deux points représentatifs du maximum). 3.Calculer successivement : a.limM n n→+∞ Z 1 b.I n =g n (x) dx 0 c.limI n : pouvaiton prévoir ce résultat à l’aide d’un encadrement conve n→+∞ nable deg n (x) et du résultat 3. b. ? Z n 1 X 4.On pose∀x∈[0 ; 1],S n (x)=g i (x) dxetJ n =S n (x) dx. 0 i=0 a.CalculerS n (x) en fonction denet dex, puis – limS n n→+∞ –J n – limJ n n→+∞ b.ExprimerJ n en fonction deI 0 ,I 1 , . . . ,I n . En déduire la valeur de la somme 1 11 s n ∙ ∙ ∙ += + +. 1×2 2×3 (n+1)(n+2) Calculer lims n n→+∞ Z Z 1 1 ³ ´ c.Comparer limS n (x) dxet limS n (x) dx. n→+∞n→+∞ 0 0 Partie C On se place à présent dans le corpsCdes complexes pourn∈N; on pose :

n ∀z∈C,h n (z)=z(1−z). 1.nétant différent de 0, résoudre l’équation :h n (z)=h 0 (z).

Côte d’Ivoire

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juin 1977

Le baccalauréat de 1977

A. P. M. E. P.

2.On se propose de résoudre le système suivant : ½ h n (z)=1 (I) |z| =|1−z| a.Montrer que l’équation a une infinité de solutions. b.Soitz 0 l’une de ces solutions; calculer, en fonction du moduleρet de n l’argumentϕdez 0 l’argument de 1−z 0 ,le module et l’argument dez(1−z 0 ). 0 c.En déduire que le système (I) n’admet de solution que sinest congru à 1 modulo 6. Quel est alors l’ensemble des solutions de ce système ?

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