Baccalauréat C juin 1975 Abidjan

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C juin 1975 Abidjan \ EXERCICE 1 On considère la fonction numérique réelle définie par : f (x)= xpx+1 1. Étudier la variation de la fonction f et tracer sa courbe représentative (C ) dans un repère orthonormé, l'unité choisie mesurant 2 centimètres. Construire la tangente à l'origine ; la courbe possède-t-elle une demi-tangente au point d'abscisse x =?1 ? 2. Déduire de l'étude précédente le tracé des courbes suivantes : a. (C ?) d'équation y = p x3+ x2 b. (?) d'équation y2? x3? x2 = 0. (On tracera ces courbes avec soin dans des repères distincts). EXERCICE 2 On considère dans le plan complexe les deux sous-ensembles suivants : – le demi-plan P formé de l'ensemble des points d'affixe z = a+bi, où b > 0, a et b étant réels ; – le disque D formé de l'ensemble des points d'affixe z tels que |z| < 1. 1. Montrer que, si l'on associe au point M d'affixe z le point M ? d'affixe z ? telle que : z ? = z? i z+ i , on obtient une bijection de P sur D.

• courbe


• base de l'exponentielle népérienne


• matrice de l'endomorphisme fp dans la base


• classe d'équivalence ? de m0


• point uniquem1


• fp


• classe d'équivalence

Sujets

• Courbe
• Classe d'équivalence

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1975
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C juin 1975 Abidjan\

E X E R C IC E 1 On considère la fonction numérique réelle définie par : p f(x)=x x+1 1.Étudier la variation de la fonctionfet tracer sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormé, l’unité choisie mesurant 2 centimètres. Construire la tangente à l’origine ; la courbe possèdetelle une demitangente au point d’abscissex= −1 ? 2.Déduire de l’étude précédente le tracé des courbes suivantes : ′ 3 2 a.(C) d’équationy=x+x 2 3 2 b.(Γ) d’équationy−x−x=0. (On tracera ces courbes avec soin dans des repères distincts).

E X E R C IC E 2 On considère dans le plan complexe les deux sousensembles suivants : – ledemiplan P formé de l’ensemble des points d’affixez=a+bi, oùb>0,a etbétant réels ; – ledisque D formé de l’ensemble des points d’affixeztels que|z| <1. ′ ′ 1.Montrer que, si l’on associe au pointMd’affixezle pointMd’affixeztelle que :

z−i ′ z=, z+i on obtient une bijection de P sur D. ′ 2.Vérifier géométriquement que siM∈P, alorsM∈; onD, et réciproquement ′ utilisera les points A et B d’affixes respectives i et−i, et l’on exprimera OMen fonction deMA etMB.

E X E R C IC E 2 Dans ce problème, on désigne par : – Eun plan affine euclidien associé à un plan vectorielUet rapporté à un re ³ ´ −→−→ père cartésien orthonorméO,ı,; –pun réel quelconque ; e la base de l’exponentielle népérienne ; –f p l’application de E dans E qui à tout pointMde coordonnées (x;y) associe ¡ ¢ ′ ′′ le pointMde coordonnéesx;ytelles que : ½ ′p p x=(1+p)ex−pey ′p p y=pex+(1−p)ey –Pl’ensemble des applicationsf p lorsquepdécrit l’ensembleRdes nombres réels. Les parties B, C et D sont indépendantes et peuvent être abordées dans un ordre quelconque.

Partie A

Terminale C

A. P. M. E. P.

−1 1.Montrer que pour toutpl’applicationf p est bijective ; déterminerfet mon p −1 trer quef∈E. p 2.Montrer que l’ensemblePmuni de la loi◦(composition d’applications) est isomorphe au groupe (R,+) ; retrouver, en appliquant ce résultat, l’expression −1 def. Partie B SoitRla relation binaire définie sur E par : ′ ′ MRM⇐⇒ ∃p∈R,M=f p (M) 1.Montrer queRest une relation d’équivalence. ¡ ¢ On noteraΓla classe d’équivalence d’un point donnéM 0 x 0 ;y 0 du plan, c’estàdire l’ensemble des pointsM=f p ( M 0 ) lorsquepdécritR. 2.On suppose dans cette question quex 0 =y 0 . Déterminer la classe d’équivalenceΓdeM 0 ; préciser sa nature, discuter sui vant la position deM 0 . 3.On suppose dans cette question quex 0 6=y 0 . a.Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour queM(x;y) ap partienne àΓest que l’on ait : x 0 y−y 0 x y−x =(y−x)Log . y 0 −x 0 y 0 −x 0 b.Montrer l’existence sur l’axe des abscisses d’un point uniqueM 1 élément deΓ(on calculera son abscissex 1 en fonction dex 0 ety 0 ). 4.Soit A le point de coordonnées (α; 0) avecα6=0. On désigne ici parΓ α la classe d’équivalence de A. a.Montrer queΓ α peut être représentée paramétriquement par le système : ½ x=αm(1+Logm) y=αmLogm et queΓ α est située dans un demiplan ayant pour frontière la bissectrice des axes. ⋆ b.Montrer que pour toutα∈R,Γ α est globalement invariante par toute transformationf p de l’ensemblePet queΓ α se déduit deΓ 1 par une transformation géométrique simple. 5.La relationRdétermine une partition du plan E. En utilisant les résultats pré cédents déterminer toutes les classes de cette partition ; retrouver ainsi le fait que les courbesΓ α ne coupent pas la bissectrice des axes, Partie C Dans cette partie uniquement, on se limite au casp=1. ′ Un pointMa pour imageM=f 1 (M). On suppose queMdécrit la courbe (C) d’équation : 2 11 2 2 2x+λy−4λx y−x+y− =0 2 e e e oùλest un paramètre réel, et e désigne la base de l’exponentielle népérienne. 1.Vérifier que (C) est non vide. ′ 2.Former l’équation de la courbe (C) image parf 1 de la courbe (C). Préciser la ′ nature de la courbe (C) selon les valeurs du paramètreλ.

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Terminale C

A. P. M. E. P.

Partie D Dans cette partie, on se place dans le plan vectorielUassocié à E et on désigne par f p l’endomorphisme deUassocié à l’application affinef p . ³ ´ −→−→ 1.Déterminer la matrice de l’endomorphismef p dans la baseu,où −→−→−→ u=ı+. −→−→ 2.Montrer que quel que soit le vecteurvil existe un vecteuru p (que l’on préci sera) tel que : ³ ´ ³´ −→ −→ −→−→ −→−→ p siv=x u+y v, alorsf p v=v+y u p e . ³ ´³ ´ −→ ′ 3.Calculer, pourpetpquelconques,f◦f p ven utilisant la question pré ′ p cédente . Retrouver ainsi une démonstration du résultat de la question A  2. concernant l’isomorphisme de (P,◦) avec (R,+).

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