Baccalauréat C La Réunion septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C La Réunion septembre 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS Déterminer deux entiers naturels a et b tels que leur plus petit commun multiple soit 120 et la somme de leurs carrés 801. EXERCICE 2 5 POINTS Dans un plan affine euclidien P , on donne un cercle (C), centré en un point O, dont un diamètre est appelé [AA?]. Autres données : (D) tangente en A? à (C), P un point de (C), distinct de A et A?, (∆) médiatrice de (A, P), s la symétrie orthogonale d'axe (∆), Q le point d'intersection de la droite (D) avec la tangente en P à (C), t la translation de vecteur directeur ???OQ , M l'image de A dans la translation t : M = t(A) , 1. Démontrer que les points A, P, M sont alignés. 2. Démontrer qu'il existe deux isométries vectorielles duplan vectorielpi, associé à P , qui transforment ???QM en ???OP . En préciser la nature et les éléments, 3. Déterminer la nature et les éléments de l'application ponctuelle ? telle que t =?? s. 4. Démontrer qu'il existe deux isométries affines, dont on précisera les éléments, qui transforment le bipoint (Q, M) en le bipoint (O, P).

• symétrie orthogonale d'axe


• courbe représentative


• duplan vectorielpi


• translation de vecteur directeur


• ??

Sujets

• Graphe d'une fonction

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1978
• Nombre de lectures: 9
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C La Réunion septembre 1978\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS Déterminer deux entiers naturelsaetbtels que leur plus petit commun multiple soit 120 et la somme de leurs carrés 801.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS Dans un plan affine euclidienP, on donne un cercle (C), centré en un point O, dont ′ un diamètre est appelé [AA ]. Autres données : ′ (D) tangente en Aà (C), ′ P un point de (C), distinct de A et A, (Δ) médiatrice de (A, P), sla symétrie orthogonale d’axe (Δ), Q le point d’intersection de la droite (D) avec la tangente en P à (C), −−→ tla translation de vecteur directeur OQ , Ml’image de A dans la translationt: M =t(A) , 1.Démontrer que les points A, P, M sont alignés. 2.Démontrer qu’il existe deux isométries vectorielles du plan vectorielπ, associé −−→−→ àPen OP ., qui transforment QM En préciser la nature et les éléments, 3.Déterminer la nature et les éléments de l’application ponctuelleϕtelle que t=ϕ◦s. 4.Démontrer qu’il existe deux isométries affines, dont on précisera les éléments, qui transforment le bipoint (Q, M) en le bipoint (O, P). L’une d’elles est une rotation dont le centre sera appelé I. 5.Montrer que le point I appartient à une parabole indépendante de la position du point P sur le cercle (C).

P R O B L È M E 12 P O IN TS Rdésigne le corps des réels, E l’ensemble des applications continues deRdansR. E étant muni d’une addition notée+, telle que pour tout couple (f,g), élément de 2 E ,et pour toutxréel,

(f+g)(x)=f(x)+g(x),

et d’une multiplication par un réel notée∙telle que pour toutf, élément de E, pour toutkréel, pour toutxréel,

(k∙f)(x)=k f(x),

On admettra que(E ,+,∙) est un espace vectoriel surR. À toute applicationf, élément de E, on associe la fonctionFtelle que, pour toutx réel, Z x+1 F(x)=f(t) dt. (1) x−1 L’objet de ce problème est de proposer l’étude de

Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

– quelquespropriétés des fonctionsF, – quelquespropriétés de l’applicationTqui, àf, associeF, – quelquesfonctionsFparticulières, N. B.Les parties B, C et D de ce problème sont totalement indépendantes les unes des autres. Le candidat les traitera dans l’ordre de son choix, Toute réponse non correctement justifiée sera considérée comme nulle.

Partie A 1.On désigne parFla fonction telle que, pour toutXréel, Z X F(X)=f(t) dt. 0 Démontrer queFappartient à E et possède une dérivéecontinuesurR. 2.Soit la fonctionν a :R→R,x7−→Xtel queX=x+a, oùaest un réel donné. Démontrer que la fonction composée, Z x+a F◦ν a :R→x→−7 ( F◦ν a ) (x)=f(t) dd t, 0 appartient à E et possède une dérivéecontinue, telle que pour toutxréel,

′ ( F◦ν a ) (x)=f(x+a). 3.En déduire queF, définie cidessus par (1), appartient à E et possède une dé rivéecontinue, telle que, pour toutxréel, 1 F(x)=[f(x+1)−f(x−1)] 2 Partie B 1.Vérifier que l’applicationTest un endomorphisme de E. Dans la suite, on uti lisera la notationF=T(f). 2.SoitG:R→R,x→−7|x−1|.G?appartientelle à EGestelle dérivable surR? Existetilg, élément de E, telle queT(g)=G? L’applicationTestelle surjec tive ? 3.Soith:R→R,x→7−sinπx. DéterminerH=T(h). L’applicationTestelle injective ? 4.On appelle E 3 le sousespace vectoriel de E, ensemble des fonctions poly ˆ nômes de degrédeux au plus. Montrer que E 3 est stable parT. On notef l’application de E 3 dans E 3 définie par : ˆ T:f→7−T(f).

Testelle bijective ?

Partie C

Soitϕ:R→R,t−→|7t|. ϕappartientelle à E ? 1.Démontrer queΦ=T(ϕ) est donnée par les formules :

1 ¡ ¢ 2 Φ(x)= |x|pour|x| > 1 etΦ(x)=1+xpour|x| 6 1. 2 En les rapportant à un même repère, représenter graphiquementϕetΦ.

La Réunion

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Le baccalauréat de 1979

A. P. M. E. P.

1 2.Démontrer que, pour toutxréel,|x| 6 Φ(x) et 6 Φ(x), ainsi que, pour toutx 2 1 réel tel que|x| 6 1, 6 Φ(x) 6 1. 2 3.En distinguant les deux cas :

|u+v| > 1 et|u+v| 6 1, démontrer que quels que soientuetvréels,

Φ(u)+Φ(v) > Φ(u+v). Partie D 2 1.Soitω:R→R,t7→−. 1+ |t| ωappartientelle à E ? 2.Dessiner la courbe représentative deω, rapportée à un repère orthonormé. 3.Démontrer queΩ=T(ω) est donnée par les formules : ¡ ¢ 2 Ω(x)=Log 4−xpour|x| 6 1 et µ ¶ 2 Ω(x)=Log 1+pour|x| > 1. |x|

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