Baccalauréat C Paris septembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Paris 1 septembre 1977 \ EXERCICE 1 4 POINTS Résoudre dans Z?Z 1. l'équation 3x?5y = 6 2. le système { 3x?5y = 6 y = x2 (mod5). EXERCICE 2 4 POINTS Soit R?+ l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On considère l'application F de R?+ dans R définie par F (x)= ∫x 1 et t dt On n'essaiera pas de « calculer l'intégrale ». 1. Étudier le sens de variation de F . 2. Étudier le signe de la fonction f de R dans R définie par f (x)= F (x)?Log x, où Log désigne la fonction logarithme népérien. En déduire lim x?0 x>0 F (x) et lim x?+∞ F (x). 3. Soit (C ) la courbe représentative de F dans un plan affine euclidien P muni d'un repère orthonormé. On admet, pour tout réel t , l'inégalité et > te t2 . Que peut-on en déduire sur la branche infinie de (C ) lorsque x tend vers+∞ ? Tracer dans P la courbe (C ). PROBLÈME 12 POINTS Partie A Soit A l'ensemble des matrices de la forme ( a c 0 b ) où (a, b, c) décrit R3.

• branche infinie


• r?1 ∑


• points résoudre dans z?z


• produit scalaire sur l'espace vectoriel


• application linéaire

Sujets

• Application linéaire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 septembre 1977
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Extrait

1 [septembre 1977Baccalauréat C Paris\

E X E R C IC E 1 Résoudre dansZ×Z 1.l’équation

2.le système

3x−5y=6

½ 3x−5y=6 2 y=x(mod 5).

E X E R C IC E 2 ⋆ SoitRl’ensemble des nombres réels strictement positifs. + ⋆ On considère l’applicationFdeRdansRdéfinie par + Z x t e F(x)=dt 1 t On n’essaiera pas de « calculer l’intégrale ». 1.Étudier le sens de variation deF. 2.Étudier le signe de la fonctionfdeRdansRdéfinie par

f(x)=F(x)−Logx,

4 P O IN TS

4 P O IN TS

où Log désigne la fonction logarithme népérien. En déduire limF(xlim) etF(x). x→0 x→+∞ x>0 3.Soit (C) la courbe représentative deFdans un plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé. On admet, pour tout réelt, l’inégalité

t t e>te . 2 Que peuton en déduire sur la branche infinie de (C) lorsquextend vers+∞? Tracer dans P la courbe (C).

P R O B L È M E

Partie A µ a SoitAl’ensemble des matrices de la forme 0 µ ¶ 1 0 la matrice. 0 1

1. Créteil–Versailles

12 P O IN TS

¶ c 3 où (a,b,c) décritR. On note I b

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

µ ¶ a c 1.On donneA=élément deA. 0b Démontrer que, pour tout entiern,n>1, il existe un nombre réelγ n tel que µ ¶ n aγ n n A=. n 0b

Démontrer que, sia6=b,

n n a−b γ n =c. a−b Dans le cas oùa=b, exprimerγ n en fonction dea,c,n. µ ¶ a c ′ 2.On désigne parAl’ensemble des élémentsA=deApour lesquels il 0b n existe un entiern > 1 tel queA=I. a.Montrer que|a| = |b| =1. b.Montrer queAest de l’une des formes suivantes : µ ¶µ ¶ 1c1c A=I,A= −I,A=,A=. 0 10−1 ′2 c.Conclure que tout élémentAdeAvérifieA=I. Partie B ³ ´ −→−→ Soit E un espace vectoriel surR, de dimension deux, muni d’une baseı,. L’ap plication identique de E est notée e . Etant donné une application linéairegde E k dans E, on note, pour tout entierk>2,gla composée dekapplications égales àg; 1 gdésigne, suivant l’usage,g. Exemple préliminaire :on considère l’application linéaireude E dans E définie par ³ ´³ ´ −→ −→−→ −→−→ u ı=etu= −ı+. = 1.Montrer que l’équationue, dont l’inconnue est l’entiermstrictement positif, admet au moins une solution. Résoudre l’équation. ³ ´ −→ −→−→ 2.Montrer que, pour tout vecteur non nulvde E,vetu vforment une partie libre. Objet du problème :On s’intéresse aux applications linéairesfde E dans E, dis q tinctes de e, pour lesquelles il existe un entier strictement positifqtel quef=e. Pour chaque applicationf, on désigne parple plus petit entier strictement positif p tel quef=e. On distingue, pour une telle application, les deux cas suivants : ³ ´ −→−→ 1.tel que fw soitCas A : il existe au moins un vecteur non nul wcolinéaire à −→ w. −→ Ce vecteurwétant fixé, on choisit une base de E dont le premier vecteur est −→ w. a.Montrer que la matrice defrelativement à cette base est de la forme µ ¶ a c 0b

b.Que vautp? Quelles sont toutes les applicationsfde ce cas A ? ³ ´ −→ −→−→ 2.une partie libre.v formentet fnul, vv nonCas B : Pour tout vecteur

Paris – Créteil – Versailles

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Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

a.Montrer quep=2 est impossible, en considérant l’image parfdu vec ³ ´³ ´ −→−→−→−→ teurf v−vou du vecteurf v+v. −→−→ b.Soitv 0 un vecteur non nul de E. On pose, pour tout entierk > 1,v k = ³ ´ −→ k f v 0 . Montrer, dans l’ordre que l’on préférera, que ³ ´ −→−→ •v 0 ,v 1 est une base de E et que, dans cette base, la matrice de ¡ ¢ fest de la forme 0c||1b oùc= +1 ouc= −1 ; (on ne cherchera ni à déterminer le signe dec, ni à calculerb) ; p−1 ³ ´ X −−−→−→−→−→ •f v p−1 =v 0 , les vecteursv k sont tous non nuls et la sommev k k=0 est nulle.

Partie C −→ On définit un produit scalaire sur l’espace vectoriel E : il associe à deux vecteursx −→−→−→ etyde E le réel notéx∙y.

1.Étant donné une application linéairegde E dans E et un entierrsupérieur ou égal à deux, on pose :

³ ´ r−1 ³ ´ X −→ −→−→ −→−→ k Φ g,x x,y=x∙y+g y(x). k=1 2 Montrer que l’applicationΦ g,x de EdansRest, elle aussi, un produit scalaire sur E. 2.On prend pourgune applicationfde la partie B et pourrl’entierpassocié. ¡ ¢ On noteE,Φ f l’espace vectoriel euclidien obtenu en munissant E du produit scalaireΦ f,p désigné parΦ f . Démontrer que ¡ ¢ a.fest une isométrie deE,Φ f , ¡ ¢ b.sipest strictement supérieur à deux,fE,est une rotation deΦ f . c.On prend icif=u,oùuest l’application considérée au début de B. ³ ´³ ´³ ´ −→−→−→−→−→−→ CalculerΦ u ı,ı,Φ u ,etΦ u ı,. ³ ´ −→−→ Φ u ı, Interpréter la valeur du rapport ³ ´ . Vérifier cette interprétation −→−→ Φ u ı,ı en tenant compte de la valeur de l’entierpassocié àu.

Paris – Créteil – Versailles

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