Baccalauréat C Polynésie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Polynésie juin 1978 \ EXERCICE 1 3 POINTS Soit l'espace linéaire p de P, espace vectoriel réel, dans lui-même de matrice A rela- tivement à la base (?? ı , ??? ) donnée par : ? ? ? f (?? ı ) = a ?? ı +d ?? ? f (?? ? ) = b ?? ı +c ?? ? où a, b, c, d sont quatre nombres entiers strictement positifs. Sachant que a, b, c, d sont dans cet ordre des termes consécutifs d'une suite géomé- trique de raison q, q étant strictement supérieur à 1 et premier avec a, déterminer la matrice A pour que son déterminant soit égal à : ?9a3. EXERCICE 2 5 POINTS Soit V un espace vectoriel euclidien de base (?? ı , ??? , ??k ) orthonormée et E un espace affine associé à V muni d'un repère orthonormé ( O, ??ı , ??? , ??k ) . On considère f l'application affine de E dans E définie par : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x? = ? 1 3x? 2 3 y + 2 3 z+1 y ? = 2 3x? 1 3 y + 2 3 z?1 z ? = 2 3x+ 2 3 y ? 1 3 z?1 1.

• branche infinie


• courbe représentative


• repère


• rela- tivement


• vectoriel réel


• signe de ?


• repère orthonormé

Sujets

• Graphe d'une fonction
• Repère
• Base orthonormale

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1978
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Polynésie juin 1978\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS Soit l’espace linéairepde P, espace vectoriel réel, dans luimême de matriceArela ³ ´ −→−→ tivement à la baseı,donnée par :  ³ ´ −→ −→−→  f ı=a ı+d ³ ´ −→ −→−→  f=b ı+c oùa,b,c,dsont quatre nombres entiers strictement positifs. Sachant quea,b,c,dsont dans cet ordre des termes consécutifs d’une suite géomé trique de raisonq,qétant strictement supérieur à 1 et premier aveca, déterminer 3 la matriceApour que son déterminant soit égal à :−9a.

E X E R C IC E 2 5 P O IN TS ³ ´ −→−→ −→ Soit V un espace vectoriel euclidien de baseı,,korthonormée et E un espace ³ ´ −→−→ −→ affine associé à V muni d’un repère orthonorméO,ı,,k. On considèrefl’application affine de E dans E définie par :  1 2 2 ′ x= −x−y+z+1  3 3 3  2 1 2 ′ y=x−y+z−1 3 3 3  2 2 1  ′ z=x+y−z−1 3 3 3 1.Montrer que l’endomorphismeϕde V associé àfconserve la norme. 2.Montrer queϕest involutif et caractériserϕ. 3.Déterminer l’ensemble des points invariants parfet préciser sifest involu tive. 4.Soitsl’application affine d’endomorphisme associéϕet telle ques(O)=O. a.Caractérisers. b.Préciser l’endomorphisme associé àf◦s, en déduire la nature det= f◦set montrer quefest la composée de deux applications que l’on précisera.

P R O B L È M E

12 P O IN TS

Partie A On considère la fonctionϕdeR + dansR, définie par : x ϕ(x)= −Log (1+x) 1+x (où Log est le logarithme népérien). 1.Montrer queϕest une fonction décroissante surR + ,dont on donnera l’image ϕ ( R + ). En déduire le signe deϕ(x), pour toutx > 0. µ ¶ 1 2.Étudier la branche infinie (on utilisera l’égalité 1+x=x+1 pourx>0) x ³ ´ −→−→ et tracer la courbe représentative (CO,), dans un repère orthonorméı, (unité choisie : 2 cm).

Le baccalauréat de 1978

A. P. M. E. P.

Partie B ³ ´ −→−→ On considère maintenant que (P) est un plan affine euclidien et que le repèreO,ı, est orthonormé. Soit le mouvement d’un pointMde (P) dont les coordonnées sont données par ( x=t−1 1 y=1− −Logtavect > 1. t tdésignant le temps.

′ 1.Trouver la trajectoire (C) du pointM(on précisera le sens de parcours). −−→−−→−−→ 2.Déterminer (H)={m∈(P)|Om=V(t) },V(t) désignantlevecteurvitesse de M à l’instant t . 3.Déterminer dans quels intervalles de temps le mouvement est accéléré, re tardé. ³ ´ −→−→ Tracer dans le repèreO,ı,les vecteursvitesse et accélération à la date t=1. Partie C On considère maintenant la fonctionfdéfinie surRet à valeurs dansR, définie par ¡ ¢ −x x f(x)=e Log1+e . ³ ´ −→−→ ′′ Soit (CO,) la courbe représentative dans le repère orthonorméı,. ′′ 1.Démontrer que :∀x∈Rf(x)>0. Que peuton dire alors de (C) ? ′x 2.Montrer quef(x) a le même signe queϕEn déduire le sens de variation(e ). de la fonctionf. x 3.Exprimerf(x) en fonction deu=e .En déduire la limite deflorsquextend vers−∞? x x−x 4.En utilisant l’égalité 1+e=e (e+1), trouver la limite deflorsquextend vers+∞. ³ ´ −→−→ 5.O,Tracer (C") dans le repèreı,(unité : 2 cm). On donne Log3, 72≈et Log8, 391, 31≈2, 12. Z a 6.Soit l’intégraleF(a)=f(x) dx. 0 a.Montrer qu’il existe des réelsbetctels que x ec ∀x∈R,=b+. x x 1+e 1+e Au moyen d’une intégration par parties, ramener le calcul deF(a) au Z a x e calcul de l’intégraledx. x 0 1+e En déduireF(a). b.a>0. Que représenteF(a) ? Étudierl’existence et donner s’il y a lieu, la valeur delimF(a). a→+∞ c.a<0. Que représenteF(a)−a? Étudier l’existence et donner s’il y a lieu, la valeur delim (F(a)−a). a→−∞ Partie D

Polynésie

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Le baccalauréat de 1978

On considère les fonctionsfdeRdansRqui vérifient la relation

A. P. M. E. P.

1 ′ (1)∀x∈R,f(x)+f(x)=. x 1+e 1.Montrer que la fonctionfdéfinie au C vérifie (1) . −x 2.On considère les fonctionsfvérifiant (1) de la formef(x)=eg(x). Trouver la relation (2) vérifiée par les fonctionsg. Quelle est l’expression des fonctions g? 3.En déduire l’ensemble des fonctionsfvérifiant (1).

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