Baccalauréat Général - Epreuve Mathématiques - Série S- (session Mars 2011)

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
EXERCICE 1 (6 points ) (Commun à tous les candidats) Partie A : Restitution organisée de connaissances. On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation différentielle y? = ay où a ? R sont les fonctions g définies sur R par g(x) = Keax où K ? R. Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation différentielle (E) : y? = ay + b où a ? R? et b ? R. 1. Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) = ? b a est une solution de (E). 2. Soit f une fonction définie et dérivable sur R. Démontrer l'équivalence suivante : f est solution de (E) ? f ? u est solution de l'équation différentielle y? = ay. 3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E). Partie B Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note v(t) sa vitesse à l'instant t, où t est exprimé en secondes et v(t) en mètres par seconde. On suppose de plus que la fonction v ainsi définie est dérivable sur l'intervalle [0 ; +∞[. Un modèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l'équation différentielle : 10v?(t) + v(t) = 30.

• af? au?


• cycliste entre les instants t1


• restitution organisée de connaissances


• solution de l'équation différentielle


• vitesse du cycliste

Informations

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• Langue: Français

Extrait

EXERCICE 1 (6 points ) (Commun à tous les candidats) Partie A :Restitution organisée de connaissances. ! On utilisera le résultat suivant : les solutions de léquation différentielley=ayoùa∈Rsont les ax fonctionsgdéfinies surRparg(x) =KeoùK∈R. ! Le but de cette partie est de déterminer les solutions de léquation différentielle(E):y=ay+boù ∗ a∈Retb∈R. b 1.Démontrer que la fonctionudéfinie surRparu(x) =−est une solution de(E). a 2.Soitfune fonction définie et dérivable surR. Démontrer léquivalence suivante : ! fest solution de(E)⇔f−uest solution de léquation différentielley=ay.

3.En déduire toutes les solutions de léquation différentielle(E).

Partie B Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On notev(t)sa vitesse à linstant t, oùtest exprimé en secondes etv(t)en mètres par seconde. On suppose de plus que la fonctionvainsi définie est dérivable sur lintervalle[0 ;+∞[. Un modèle simple permet de considérer que la fonctionvest solution de léquation différentielle :

! 10v(t) +v(t) = 30.

Enfin, on suppose que, lorsque le cycliste sélance, sa vitesse initiale est nulle, cest-à-dire que v(0) = 0. ! " 1 −t 1.Démontrer quev(t1) = 30−e. 10

2. a.Déterminer le sens de variation de la fonctionvsur lintervalle[0 ;+∞[. b.Déterminer la limite de la fonctionven+∞.

3.On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération ! −2 v(t)est inférieure à0,1Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur dem.s .tà partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. # t 2 4.et estpar ntsLa distance. dcourue par ce cycliste entre les instat 1 t 2 donnée pard=v(t)dt t 1 Calculer la distance parcourue par ce cycliste pendant les35premières secondes.

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