BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité- Session 2009

Description

Niveau: Secondaire, Lycée

• redaction

Session 2009 BACCALAUREAT GENERAL MATHEMATIQUES Série S Enseignement de Spécialité Durée de l'épreuve : 4 heures Coefficient : 9 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6 . Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Page 1 / 6

• restitution organisée de connaissances prérequis


• repère orthonormal


• entiers naturels vérifiant l'équation


• figure no


• courbe c0


• enseignement de spécialité durée de l'épreuve


• plan d'équation


• enseignement de spécialité


• plan complexe

Sujets

• Plan d'Argand
• Base orthonormale
• Redaction

Informations

• Publié par: profil-insu-2012
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• Langue: Français

Extrait

Session 2009
BACCALAUREAT GENERAL
MATHEMATIQUES
Série S
Enseignement de Spécialité
Durée de l’épreuve : 4 heures
Coefficient : 9
Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6
.
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l’appréciation des copies.
Page 1 / 6EXERCICE 1 (5 points )
(Commun à tous les candidats)
1. Restitution organisée de connaissances
Prérequis : on rappelle que deux événements A et B sont indépendants pour la probabilité p si, et
seulement si,p(A∩B) =p(A)×p(B).
SoientA etB deux événements associés à une expérience aléatoire.
a. Démontrer quep(B) =p(B∩A)+p(B∩A).
b. Démontrer que, si les événementsA etB sont indépendants pour la probabilitép, alors les
événementsA etB le sont également.
2. Application : Chaque matin de classe, Stéphane peut être victime de deux événements indépen-
dants :
•R : « il n’entend pas son réveil sonner » ;
•S : « son scooter, mal entretenu, tombe en panne ».
Il a observé que, chaque jour de classe, la probabilité deR est égale à 0,1 et que celle deS est égale
à 0,05. Lorsqu’au moins l’un des deux événements se produit, Stéphane est en retard au lycée, sinon
il est à l’heure.
a. Calculer la probabilité qu’un jour de classe donné, Stéphane entende son réveil sonner et
que son scooter tombe en panne.
b. Calculer la probabilité que Stéphane soit à l’heure au lycée un jour de classe donné.
c. Au cours d’une semaine, Stéphane se rend cinq fois au lycée. On admet que le fait qu’il entende
son réveil sonner un jour de classe donné n’influe pas sur le fait qu’il l’entende ou non les
jours suivants.
Quelle est la probabilité que Stéphane entende le réveil au moins quatre fois au cours
d’une semaine ? Arrondir le résultat à la quatrième décimale.
Page 2 / 6EXERCICE 2 (5 points )
(Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité)
1. On note(E) l’équation3x+2y = 29 oùx ety sont deux nombres entiers relatifs.
a. Déterminer un couple d’entiers solution de l’équation(E).
b. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation(E).
c. Préciser les solutions de l’équation(E) pour lesquelles on ax> 0 ety> 0.
2. Intersections d’un plan avec les plans de coordonnées →− −→ −→
L’espace est muni du repère orthonormal O, i , j , k et on désigne parP le plan d’équation
3x+2y = 29.
−→
a. Démontrer queP est parallèle à l’axe(Oz) de vecteur directeur k .
b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection du planP avec les axes (Ox) et (Oy)
−→ −→
de vecteurs directeurs respectifs i et j .
c. Faire une figure et tracer les droites d’intersection du planP avec les trois plans de coordonnées
.
d. Sur la figure précédente, placer sur la droite d’intersection des plansP et (xOy), les points
dont les coordonnées sont à la fois entières et positives.
3. Etude d’une surface →− −→ −→
S est la surface d’équation4z =xy dans le repère O, i , j , k .
Les figures suivantes représentent les intersections deS avec certains plans de l’espace.
o o o oFigure n 1 Figure n 2 Figure n 3 Figure n 4
a.S désigne la section de la surfaceS par le plan(xOy). Une des figures données représenteS ,1 1
laquelle ?
b.S désigne la section deS par le planR d’équationz = 1. Une des figures données représente2
S , laquelle ?2
c.S désigne la section deS par le plan d’équationy = 8. Une des figures données représenteS ,3 3
laquelle ?
d.S désigne la section deS par le planP d’équation3x+2y = 29 de la question 2..4
Déterminer les coordonnées des points communs àS et àP dont l’abscissex et l’ordonnéey4
sont des entiers naturels vérifiant l’équation3x+2y = 29.
Page 3 / 6EXERCICE 3 (4 points )
(Commun à tous les candidats)
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse
choisie. Dans le cas d’une réponse fausse, on pourra donner un contre-exemple.
221. Pour tout complexez, Re(z ) = (Re(z)) .
→− −→2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal(O, u, v ).
2z
Pour tout nombre complexez non nul, les pointsM d’affixez, N d’affixez etP d’affixe appar-
z
tiennent à un même cercle de centreO.
3. Pour tout nombre complexez, si|1+iz| =|1−iz|, alors la partie imaginaire dez est nulle.
→− −→4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal(O, u, v ).
′ ′Quels que soient les nombres complexesz etz non nuls, d’images respectivesM etM dans le plan
′ ′ ′ ′complexe, si z et z vérifient l’égalité|z + z| = |z− z|, alors les droites (OM) et (OM ) sont
perpendiculaires.
Page 4 / 6EXERCICE 4 (6 points )
(Commun à tous les candidats)
Soitn un entier naturel.
On notef la fonction définie sur l’ensembleR des nombres réels par :n
−nxe
f (x) = .n −x1+e

→− −→
On noteC la courbe représentative def dans un repère orthogonal O; i , j .n n
Les courbesC ,C ,C etC sont représentées ci-dessous.0 1 2 3
yC3
1
C2
C1
C0
x1
Partie A - Quelques propriétés des fonctions f et des courbesCn n
1. Démontrer que pour tout entier natureln, les courbesC ont un pointA en commun. Préciser sesn
coordonnées.
2. Etude de la fonctionf0
a. Etudier le sens de variation def .0
b. Préciser les limites de la fonctionf en−∞ et +∞. Interpréter graphiquement ces limites.0
c. Dresser le tableau de variation de la fonctionf surR.0
3. Etude de la fonctionf1
a. Démontrer quef (x) =f (−x) pour tout nombre réelx.0 1
b. En déduire les limites de la fonctionf en−∞ et+∞ ainsi que son sens de variation.1
c. Donner une interprétation géométrique de 3.a. pour les courbesC etC .0 1
4. Etude de la fonctionf pourn> 2n
a. Vérifier que pour tout entier natureln> 2 et pour tout nombre réelx, on a :
1
f (x) = .n nx (n−1)xe +e
b. En déduire les limites de la fonctionf en−∞ et en +∞.n
′c. Calculer la dérivéef (x) et dresser le tableau de variation de la fonctionf surR.nn
Page 5 / 6Partie B - Etude d’une suite liée aux fonctionsfn
Z 1
On pose, pour tout entier natureln :u = f (x)dx.n n
0
1. Calculeru puis montrer queu +u = 1. En déduireu .1 0 1 0
Z 1
−nx2. Démontrer que, pour tout entiern : 06u 6 e dx.n
0
Z 1
−nx3. Calculer l’intégrale : e dx. En déduire que la suite (u ) est convergente et préciser san
0
limite.
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