Baccalauréat Nouvelle Calédonie série S novembre

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat Nouvelle-Calédonie série S \ novembre 2003 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats On observe sur une longue période le nombre d'accidents de scooters à un carre- four. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour n scooters franchissant le carrefour durant une année (n est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire Sn qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l'espérance mathématique de Sn notée E(Sn ) est égale à 10. Soit p la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée. 1. Calculer p, puis justifier l'égalité P(Sn = k)= (n k ) ( 10 n )k ( 1? 10 n )n?k où k est un entier naturel tel que 06 k 6 n. 2. a. Établir l'égalité ln [P(Sn = 0)]=?10? ln ( 1? 10 n ) ?10 n où ln désigne la fonction logarithme népérien ; en déduire que lim n?+∞ P(Sn = 0)= e?10. b. Démontrer que P(Sn = k+1)= P(Sn = k)? n?k n?10 ? 10 k+1 , où k est un en- tier naturel tel que 06 k 6 n?1.

• limites de f1


• courbe ?1


• points candidats


• nouvelle calédonie


• égalité ln


• aire du triangle ebc


• fn


• plan d'équation


• entier naturel


• repère ortho

Sujets

• Nouvelle Calédonie
• Entier naturel

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2003
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Extrait

[Baccalauréat NouvelleCalédonie série S\ novembre 2003

E X E R C IC E 1 4points Commun à tous les candidats On observe sur une longue période le nombre d’accidents de scooters à un carre four. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pournscooters franchissant le carrefour durant une année (nest un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoireS n qui totalise le nombre d’accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale; on estime que l’espérance mathématique deS n notée E(S n ) est égale à 10. Soitpla probabilité pour un scooter d’être accidenté à ce carrefour pendant l’année considérée. µ ¶µ ¶ k n−k ¡ ¢ 10 10 n 1.Calculerp, puis justifier l’égalité P(S n =k ) =1−oùkest un k n n entier naturel tel que 0 6 k 6 n. µ ¶ 10 ln 1− n 2. a.Établir l’égalité ln [P(S n =0)]= −10×où ln désigne la fonction −10 n −10 logarithme népérien ; en déduire quelim P ( S n =0)=e . n→+∞ n−k10 b.Démontrer que P(S n =k+1)=P (S n =k ) × ×, oùkest un en n−10k+1 tier naturel tel que 0 6 k 6 n−1. k 10 −10 c.Démontrer que silim P ( S n =k ) =e pour0 6 k 6 n, alors on a n→+∞ k! k+1 10 −10 également lim P ( S n =k+1)=e pour0 6 k+1 6 n. n→+∞ (k+1)! d.Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l’entier na k 10 −10 turelkque limP (S n =k ) =e oùkest un entier naturel tel que n→+∞ k! 0 6 k 6 n. 3.On suppose que le nombrenest suffisamment grand pour que l’on puisse k 10 −10 admettre que eest une approximation acceptable de P(S n =k). Utiliser k! −4 cette approximation pour calculer à 10près la probabilité pour qu’au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour.

T. S. V. P.

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

E X E R C IC E points2 5 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ −→ L’espace est rapporté à un repère orthonormalO,ı,,k; on considère les points A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0). 1. a.Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). b.0).Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9; 0 ; c.Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2.Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC. a.Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC. b.Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH). c.Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne 20x+9y+12z−180=0.  x=0  d. 4 Montrer que le système y−3z=0 a une solution  20x+9y+12z−180=0 unique. Que représente cette solution ? e.Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC. 3.En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvaiton prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en2. c.?

E X E R C IC E 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

5 points

1. a.Soitpun entier naturel. Montrer que l’un des trois nombresp,p+10 et p+20, et l’un seulement est divisible par 3. b.Les entiers naturelsa,betcsont dans cet ordre les trois premiers terme d’une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sa chant qu’ils sont premiers. 2.Soit E l’ensemble des triplets d’entiers relatifs (u,v,w) tels que

3u+13v+23w=0.

a.Montrer que pour un tel tripletv≡w(mod 3) ′ ′ b.On posev=3k+retw=3k+roùk,ketrsont des entiers relatifs et 0 6 r 6 2. Montrer que les éléments de E sont de la forme :

′ ′ (−13k−23k−12r, 3k+r, 3k+r).

c.L’espace est rapporté à un repère orthonormal d’origine O et soit P le plan d’équation 3x+13y+23z=0. Déterminer l’ensemble des pointsMà coordonnées (x,y,z) entières relatives appartenant au plan P et situés à l’intérieur du cube de centre O, de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes.

NouvelleCalédonie

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novembre 2003

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

P R O B L È M E 11 points Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes. Pour tout entier natureln, on définit surRla fonction numériquef n par : n 1x f 0 (x)=et pournentier naturel non nulf n (x)=. 2 2 1+x1+x On noteΓ n , la courbe représentative def n , dans le plan rapporté à un repère ortho ³ ´ −→−→ normal O,ı,, unité graphique : 4 cm. Z 1 On désigne parI n l’intégraleI n =f n (t) dt. 0

Partie A

1. a.Étudier les limites def 1 en+∞et en−∞. Quelle est la conséquence gra phique de ces résultats ? b.Étudier les variations def 1 . c.Tracer la courbeΓ 1 . d.Calculer I 1 . 2. a.Étudier les limites def 3 en+∞. b.Étudier les variations def 3 . c.Tracer la courbeΓ 3 sur le même dessin qu’au1. c.. 3.Calculer I 1 +I 3 . En déduire la valeur de I 3 . 4.Calculer, en unités d’aire, l’aire du domaine limité par les courbesΓ 1 ,Γ 3 et les droites d’équationx=0 etx=1.

Partie B Pour cette partie, on dessinera la figure demandée dans un nouveau repère ortho ³ ´ −→−→ normal O,ı,, unité graphique : 4 cm. 1. a.Étudier les limites def 0 en+∞et en−∞. b.Étudier les variations def 0 . Z n 1 2.Soit (a n ) la suite définie, pournentier naturel non nul, para n =dt. 2 0 1+t a.Interpréter graphiquementa n . b.Montrer que la suite (a n ) est croissante. 1 c.Montrer que pour tout réelt: 6 1 et en déduire quea 1 6 1. 2 1+t 1 1 d.Montrer que pour tout réeltnon nul : 6 et en déduire que pour 2 2 1+t t Z n 1 1 tout entier naturel non nul,dt 6 1−. 2 1 1+t n e.Montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout entier na turelnnon nul,a n 6 2. Que peuton en déduire pour la convergence de la suite (a n ) ?

NouvelleCalédonie

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T. S. V. P.

novembre 2003

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

Partie C SoitFla fonction telle que : 1 ′ F(0)=0,Fdérivable surRetF(x)=. 2 1+x i h π π 1.On pose, pour toutxde−; ,H(x)=F[tan(x)]. 2 2 a.CalculerH(0). i h π π ′ b.Montrer queHest dérivable sur−calculer; etH(x). 2 2 i h π π c.En déduire que, pour toutxde−; ,H(x)=x. 2 2 π d.Montrer queF(1)=. 4 µ ¶ ³ ´ 1x 2.On pose, pour toutxréel positif ou nul,k(x)=F+F. x+1x+2 + ′ a.Montrer que la fonctionkest dérivable surRet déterminerk(x). µ ¶µ ¶ 1 1 b.En déduire la valeur deF+F. 2 3

NouvelleCalédonie

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novembre 2003