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Publié par | apmep |
Publié le | 01 juin 2000 |
Nombre de lectures | 52 |
Langue | Français |
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[ BaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2000\
Exercice1 4points
Ungroupedevingt-deuxpersonnesdécided’alleraucinémadeuxsamedisdesuite
pourvoirdeuxfilmsAetB.
Lepremiersamedi,huitpersonnesvontvoirlefilmA,etlesautresvontvoirlefimB.
Ledeuxièmesamedi,quatrepersonnesdécidentderevoirlefimA,deuxvontrevoir
lefilmB,etlesautresvontvoirlefilmqu’ellesn’ontpasvulasemaineprécédente.
Après la deuxième séance, on interroge au hasard une personne de ce groupe. On
considèrelesévènements suivants:
A «lapersonneinterrogéeavulefilmAlepremiersamedi»;1
A «lapersonneinterrogéeavulefilmAledeuxièmesamedi»;2
B «lapersonneinterrogéeavulefilmBlepremiersamedi»;1
B «lapersonneinterrogéeavulefilmBledeuxièmesamedi».2
1. a. Calculerlesprobabilitéssuivantes:p(A )etp(A ).1 2
b. Calculerlesprobabilitésdechacundesévènements suivants:
p(A /A ), p(A /B )et p(A \A )2 1 2 1 1 2
c. Reproduireetcompléterl’arbrepondérésuivant,enremplaçantchaque
point d’interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justifi-
cationn’estdemandéepourcettequestion.
? A ?2
A1?
B ?2?
?
? A ?2
B1
B ?2?
8
d. Retrouveràpartirdel’arbrepondéréquep(A )? .2
11
2. LeprixdubilletpourlefilmAestde30Fetde20FpourlefilmB.
On appelle X lavariablealéatoire égaleau coût total, pour lapersonne inter-
rogée,desdeuxséancesdecinéma.
a. DéterminerlaloideprobabilitédelavariablealéatoireX.
b. Déterminerl’espérancemathématique delavariablealéatoireX.
Exercice2 5points
Enseignementobligatoire
3 21. Pourtoutnombrecomplexez,onposeP(z)?z ?3z ?3z?7.
a. CalculerP(?1).
b. Déterminerlesréelsaetbtelsquepourtoutnombrecomplexez,onait:
2
P(z)?(z?1)(z ?az?b).
c. RésoudredansCl’équationP(z)?0.
2. Leplancomplexeestrapportéàunrepèreorthonormaldirect(O ; u~,~v).(Unité
graphique:2 cm.)OndésigneparA, B, C etG lespointsdupland’affixesres-
pectives p p
z ??1, z ?2?i 3, z ?2?i 3 et z ?3.A B C GBaccalauréatS A.P.M.E.P.
a. RéaliserunefigureetplacerlespointsA,B,CetG.
b. CalculerlesdistancesAB, BCetAC.EndéduirelanaturedutriangleABC.
z ?zA C
c. Calculer un argument du nombre complexe . En déduire la na-
z ?zG C
turedutriangleGAC.
3. Soit(D)l’ensembledespointsM duplantelsque:
? ???! ??! ??! ??!
?MA ?2MB ?2MC ?CG ??12 (1)
a. MontrerqueG estlebarycentredusystèmedepointspondérés
{(A,?1); (B, 2); (C, 2)}.
??!?!
b. Montrerquelarelation(1)estéquivalenteàlarelationGM .CG ??4 (2).
c. VérifierquelepointAappartientàl’ensemble (D).
??!?!
d. Montrerquelarelation(2)estéquivalenteàlarelationAM .GC ?0.
e. Endéduirel’ensemble (D)etletracer.
Exercice2 5points
Enseignementdespécialité
Lespoints A ?O; A ; ... ; A sont lessommets d’unpolygonerégulierdecentre0 1 20
A,à21côtés,desensdirect.
Les points B ?O ; B ; B sont les sommets d’un polygone régulier decentre B, à0 1 14
15côtés,desensdirect.
2?
Soit r la rotation de centre A et d’angle et r la rotation de centre B et d’angleA B
21
2?
.
15
Ondéfinitlasuite(M )depointspar:n
– M estl’undespoints A , A , A , ..., A ;0 0 1 2 20
– pourtoutentiernatureln, M ?r (M ).n?1 A n
Ondéfinitlasuite(P )depointspar:n
– P estl’undespointsB , B , B , ..., B0 0 1 2 14
– pourtoutentiernatureln, P ?r (P ).n?1 B n
Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des
entiersnaturelsn vérifiant:
M ?P ?O.n n
1. Danscettequestion,M ?P ?O.0 0
a. IndiquerlapositiondupointM etcelledupointP .2000 2000
b. Déterminerlepluspetitentiernatureln nonnultelqueM ?P ?O.n n
Endéduirel’ensembleS.
2. Danscettequestion,M ?A etP ?B .0 19 0 10
Onconsidèrel’équation(E):7x?5y?1avecx2Zet y2Z.
a. Déterminerunesolutionparticulière(a ; b)de(E).
b. Déterminerl’ensemble dessolutionsde(E).
c. Endéduirel’ensembleS desentiersnaturelsn vérifiantM ?P ?O.n n
Problème 11points
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle ]0;?1[par:
2f(x)?xln(x )?2x.
Antilles-Guyane 2 juin2000BaccalauréatS A.P.M.E.P.
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère or-? ?!? !?
thonormal O, ı , | ;unitégraphique:1cm.
PartieA-Étudede f
x
1. Montrerque,pourx?0, f(x)?2xlnx?2x puisque f(x)?2xln .
e
2. a. Étudierlalimitede f en?1.
0b. Montrerque f estdérivableentoutx?0;calculer f (x)pourx?0.
c. Étudierlesensdevariationde f sur]0;?1[.
d. Donnerletableaudevariationde f sur]0;?1[.
3. Déterminer par le calcul l’abscisse du point d’intersection de la courbe (C)
avecl’axedesabscisses.
4. Montrerquel’équation f(x)?2admetsurl’intervalle[1;5]uneuniquesolu-
? 2tionetendonnerlavaleurdécimalearrondieà10 .
PartieB-Calculd’aires
1. SoitF lafonctiondéfiniesurl’intervalle [0;?1[par
8
F(0) ? 0<
23x2: F(x) ? x lnx?2? si x?0
2
a. Onadmetque limxlnx?0;montrerqueF estdérivableen0etpréciser
x!0
0F (0).
0b. Montrerque,pourtoutx appartenantà]0;?1[, F (x)? f(x).
2. Onconsidèrepourchaqueentiern positifounul,ladroiteD d’équation y?n
nx.
Ontrouveraci-dessousuntracédelacourbe(C)etdesdroitesD , D , D .0 1 2
Antilles-Guyane 3 juin2000BaccalauréatS A.P.M.E.P.
20
D2
D1
15
10
(C)
5
D0
?5 5 10 15
?5
a. DéterminerlescoordonnéesdupointI ,d’abscissestrictementpositive,n
intersectionde(C)etdeD .n
On appelle P le point de l’axe des abscisses de même abscisse que I .n n
PlacerlespointsI , I , I , P ,P ,P surlafiguredonnéeenannexe.0 1 2 0 1 2
b. Déterminerlapositionrelativede(C)etdeD pourlesabscissesappar-n
tenantà]0;?1[.
3. Pourtoutn>1,onconsidèreledomaineA situédanslequartdeplandéfinin
parx>0ety>0,délimitépar(C), D etD .n?1 n
Onnotea sonaire,expriméeenunitésd’aire.n
a. Faireapparaîtrelesdomaines A et A surlafigure.1 2
b. Calculerl’airet dutriangleOP I ,enunitésd’aire.n n n
c. Calculer l’aire u , en unités d’aire, du domaine situé dans le quart den
plandéfiniparx>0et y>0,délimitépar(C),l’axedesabscisses, etles
parallèlesàl’axedesordonnéespassantparP etP .0 n
d. Vérifierquel’aire v en unités d’aire,dudomainesitué danslequartden
plan défini par x> 0 et y> 0 , délimité par (C) , l’axe des abscisses et
2 nD ,estv ?t ?u ?e (e ?1).n n n n
e. Calculeralorsa .n
4. Montrerquelasuite(a )estunesuitegéométrique.n
Enpréciserlaraisonetlepremierterme.
Antilles-Guyane 4 juin2000