Baccalaureat S Centres etrangers juin 2004

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Duree : 4 heures Baccalaureat S Centres etrangers juin 2004 L'utilisation d'une calculatrice est autorisee. Du papier millimetre est mis a la disposition des candidats. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualite de la redaction, la clarte et la precision des raisonnements entre- ront pour une part importante dans l'appreciation des copies. Exercice 1 4 points Commun a tous les candidats Le plan est muni d'un repere orthonormal direct (O, ??u , ??v ), unite gra- phique : 2 cm. On appelle A le point d'a?xe ?2i. A tout point M du plan d'a?xe z, on associe le point M ? d'a?xe z? = ?2z + 2i. 1. On considere le point B d'a?xe b = 3? 2i. Determiner la forme algebrique des a?xes a? et b? des points A? et B? associes respectivement aux points A et B. Placer ces points sur le dessin. 2. Montrer que si M appartient a la droite (∆) d'equation y = ?2 alors M ? appartient aussi a (∆). 3. Demontrer que pour tout pointM d'a?xe z , |z? + 2i| = 2|z+2i| ; interpretez geometriquement cette egalite. 4. Pour tout point M distinct de A on appelle ? un argument de z + 2i.

• distribution de la masse salariale


• droites d'equations


• points reserve aux candidats


• aire exprimee en unite d'aire


• deduire


• courbes servant de modele


• deduire pour les demi-droites

Sujets

• Déduction

Informations

• Publié par: profil-insu-2012
• Publié le: 01 juin 2004
• Nombre de lectures: 38

Extrait

Dur´ee : 4 heures
Baccalaur´eat S Centres ´etrangers juin 2004
L’utilisationd’unecalculatriceestautoris´ee.
Dupapiermillim´etr´eestmis`aladispositiondescandidats.
Lecandidatdoittraitertouslesexercices.
Laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnementsentre-
rontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies.
Exercice 1 4 points
Commun `a tous les candidats
→− →−Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal direct (O, u, v), unit´egra-
phique:2cm.
OnappelleAlepointd’affixe −2i.
`Atoutpoint M dupland’affixe z,onassocielepoint M d’affixe
z =−2z+2i.
1.Onconsid`erelepointBd’affixe b=3−2i.
D´eterminerlaformealg´ebriquedesaffixes a et b despoints A et B associ´es
respectivementauxpointsAetB.Placercespointssurledessin.
2. Montrer que si M appartient `aladroite()∆d’´equation y = −2alorsM
appartientaussi`a()∆.
3.D´emontrerquepourtoutpoint M d’affixez,|z +2i|=2|z+2i|;interpr´etez
g´eom´etriquementcette´egalit´e.
4.Pourtoutpoint MdistinctdeAonappelle θunargumentde z+2i. −−→−→a.Justifierque θestunemesuredel’angle u,AM .
b.D´emontrerque(z+2i)(z +2i)estunr´eeln´egatifounul.
c.End´eduireunargumentde z +2ienfonctiondeθ.
d.Quepeut-onend´eduirepourlesdemi-droites[AM)et[AM)?
5.Enutilisantlesr´esultatspr´ec´edents,proposeruneconstructiong´eom´etrique
dupoint M associ´eaupointM.
Exercice 2 5 points
R´ eserv´e aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de sp´ecialit´e
Unemploy´eserend`asontravail.S’ilest`al’heureilprendlebusderamas-
sagegratuitmis`adispositionparl’entreprise,s’ilestenretardilprendlebus
delavilleetilluiencouteˆ 1,50 .
Si l’employ´eest`a l’heure un jour donn´e,la probabilit´equ’il soit en retard le
1
lendemain est , s’il est en retard un jour donn´e la probabilit´e qu’il soit en
5
1
retardlelendemainest .
20
Pourtoutentiernaturelnonnul n,onappelle R l’´ev`enement: ✭✭ l’employ´eestn
enretardlejour n ✮✮.Onnotep ,laprobabilit´edeR et q ,celle de R.Onn n n n
supposeque p =0.1
1.D´eterminationd’unerelationder´ecurrence.
a.D´eterminerlesprobabilit´esconditionnelles p (R )etp (R ).R n+1 n+1n Rn
b.D´eterminerp(R ∩R )enfonctiondep etp R ∩R enfonctionn+1 n n n+1 n
de qn
c.Exprimer p enfonctionde p etde q .n+1 n n
1 3
d.End´eduireque p = − p .n+1 n
5 20
´2.Etudedelasuite(p ).n
4
Pourtoutentiernaturelnonnul n,onposev = p − .n n
23
Baccalaur´eat Centres ´etrangers I 1
?3
a.D´emontrerque(v )estunesuiteg´eom´etriquederaison− .n
20
b.Exprimer v puis p enfonctionde n.n n
c.Justifierquelasuite(p )estconvergenteetcalculersalimite.n
Exercice 2 5 points
R´ eserv´e aux candidats ayant suivi l’enseignement de sp´ecialit´e
Onseproposedanscetexerciced’´etudierleprobl`emesuivant:
✭✭ Les nombres dont l’´ecriture d´ecimale n’utilise que le seul chiffre1 peuvent-
ils ˆetre premiers? ✮✮
Pourtoutentiernaturel p2,onpose N =1...1ou`1apparaˆıt pfois.p
p−1 p−2 0Onrappelled`eslorsque N =10 +10 +···+10.p
1.Lesnombres N =11,N =111,N =1111sont-ilspremiers?2 3 4
p10 −1
p2.Prouverque N = .Peut-onˆetrecertainque10 −1estdivisibleparp
9
9.
3. On se proposede d´emontrerque si p n’est pas premier, alors N n’est pasp
premier.
Onrappellequepourtoutnombrer´eel xettoutentiernaturel nnonnul,

n n−1 n−2x −1=(x−1) x +x +···+x+1 .
a. Onsupposeque pestpairetonpose p=2q,ou`q estunentiernaturel
plusgrandque1.
Montrerque N estdivisiblepar N =11.p 2
b.Onsupposeque pestmultiplede3etonpose p=3q,ou`qestunentier
naturelplusgrandque1.
Montrerque N estdivisiblepar N =111.p 3
c. Onsuppose p non premier eton pose p= kqo`u k et q sont des entiers
naturelsplusgrandsque1.
End´eduireque N estdivisiblepar N .p k
´4.Enonceruneconditionn´ecessairepourque N soitpremier.p
Cetteconditionest-ellesuffisante?
Exercice 3 9 points
Commun `a tous les candidats
On s’int´eresse`a des courbes servant de mod`ele `a la distribution de la masse
salarialed’uneentreprise.Lesfonctions f associ´eesd´efiniessurl’intervalle[0;1]
doiventv´erifierlesconditionssuivantes:
(1) f(0)=0et f(1)=1;
(2) f estcroissantesurl’intervalle[0;1]
(3)Pourtoutr´eel xappartenant`al’intervalle[0;1], f(x) x.
−→ −→
Leplan est rapport´eaurep`ereorthonormal R=(O, ı, ), unit´egraphique
10cm.
´I. Premi`ere partieEtuded’unmod`ele
Onappelle g lafonctiond´efiniesurl’intervalle[0;1]par
x−1g(x)=xe .
1.Prouverque g v´erifielesconditions(1)et(2).
x x2. Montrer que g(x)−x = (e −e) et en d´eduireque g v´erifiela condition
e
(3).
3.Tracerlesdroitesd’´equations y= xet x=1etlacourberepr´esentativede
gdanslerep`ereR.
II. Seconde partieUncalculd’indice
Baccalaur´eat Centres ´etrangers I 2Pourunefonction f v´erifiantlesconditions(1),(2)(3),ond´efinitunindice
I ´egal `a l’aire exprim´ee en unit´e d’aire, du domaine plan M d´elimit´eparles
droitesd’´equations y= x, x=1etlacourberepr´esentativede f.
1
1.Justifierque I= [x−f(x)]dx.
0
`2.Al’aided’uneint´egrationparparties,calculerl’indice I ,associ´e`a g.g
3.Ons’int´eresseauxfonctions f ,d´efiniessurl’intervalle[0;1]parn
n2x
f (x)=n
1+x
o`u n est un entier naturel sup´erieuren ´egal`a 2. On admet que ces fonctions
v´erifientlesconditions(1),(2),(3)etonseproposed’´etudierl’´evolutiondeleur
indice I lorsque ntendversl’infini.n 1 1
a. On pose I = [x−f (x)] dx et u = f (x)dx.Prouverquen n n n
0 0
1
I = −u .n n
2
n+1 nt t
b. Comparer et sur l’intervalle [0; 1]; en d´eduire que la suite
1+t 1+t
(u )estd´ecroissante.n
c.Prouverquepourtoutr´eel tappartenant`al’intervalle[0;1],
n+1t n
0 t .
1+t
2
d.End´eduirequepourtoutentiernaturel n2,0 u .n
n+1
e.D´etermineralorslalimitede I quand ntendversl’infini.n
Baccalaur´eat Centres ´etrangers I 3