Baccalauréat STI

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat STI 2003 \ L'intégrale de septembre 2002 à juin 2003 Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus Métropole Génie civil septembre 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Métropole Génie électronique septembre 2002 . . . . . . . . . 6 Métropole Génie des matériaux septembre 2002 . . . . . . 11 Nouvelle–Calédonie Génie électronique nov. 2002 . . . . .14 Nouvelle–Calédonie Génie des matériaux nov. 2002 . . . 16 Métropole Arts appliqués juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Antilles–Guyane Génie électronique juin 2003 . . . . . . . . . 21 Métropole Génie électronique juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . 24 Métropole Génie civil juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 La Réunion Génie électronique juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . 31 Polynésie Génie énergétique juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Polynésie Génie mécanique juin 2003 . . . . . . . . . .

• représentation graphique de uc sur l'intervalle


• métropole génie électronique


• affixe du point ?milieu


• cm sur l'axe des ordonnées


• représentation graphique

Sujets

• France 5
• France 4
• Représentation graphique

Informations

• Publié par: apmep
• Nombre de lectures: 48

Extrait

[Baccalauréat STI 2003\

L’intégrale de septembre 2002 à juin 2003 Pour un accès direct cliquez sur les liens bleus

Métropole Génie civil septembre 2002 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . Métropole Génie électronique septembre 2002. . . . . . . . . 6 Métropole Génie des matériaux septembre 2002 11. . . . . . Nouvelle–Calédonie Génie électronique nov. 2002. . . . . 14 Nouvelle–Calédonie Génie des matériaux nov. 2002. . . 16 Métropole Arts appliqués juin 2003. . . . . . . . . . . . . . . . 19. . . . Antilles–Guyane Génie électronique juin 2003. . . . . . . . . 21 Métropole Génie électronique juin 2003. . . . . . . . . . . . . . . 24 Métropole Génie civil juin 2003 29. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . La Réunion Génie électronique juin 2003. . . . . . . . . . . 31. . . Polynésie Génie énergétique juin 2003. . . . . . . . 33. . . . . . . . . Polynésie Génie mécanique juin 2003. . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Métropole Génie des matériaux juin 2003. . . . . . . . . . . . 40. . La Réunion Génie mécanique juin 2003. . . . . . . . . . . . . . . 42.

2

L’in

t

égrale

2003

[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2002\ Génie énergétique, civil, mécanique

E XRECECI 1 5 points π On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument  2  . Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal ³ O, − u → , − v → ´ d’unité graphique 2 cm. 1.SoitPle polynôme défini parP(z)z 3 −2z 2 16. a.Trouver la valeur du nombre réela, tel que, pour tout nombre complexe z,P(z)(z2) ¡ z 2 a z8 ¢ . b.Résoudre alors l’équation :P(z) 0.  2.Soient A, B et C les points d’affixes respectives z A 22i ;z B 2−2i ; ; C −2. a.Donner la forme trigonométrique dez A ,z B etz C . b.Placer les points A, B et C dans le plan complexe. 3.Soit B ′ le point d’affixe 4i. a.Trouver l’affixe du pointΩmilieu de [BB ′ ]. b.Montrer que les pointa B, B ′ et C appartiennent à un cercle de centreΩ dont on déterminera le rayon.

E XICREEC 2 4 points On désire redresser une tension sinusoïdale alternative à l’aide d’un montage re- dresseur à diodes :

D 1

u(t) D 2

D 3

D 4

RC u C (t)

La tensionu(t) est exprimée en volts etten secondes. La courbe représentant la tensionu(t) relevée à l’oscilloscope est donnée, en an- nexe. L’intervalle £ 0 ; 2¢10 −2 ¤ correspond à une période de la fonctionu.

calauréaBacé,liviceinéGITStanéc,mueiqétrgnela2eétrg’Lniqieu003

325 u(t)

P EMÈLROB 11 points Le plan est rapporté un repère orthogonal ³ O, − ı → , →− ´ (unité graphique : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées. Soitfla fonction définie sur ]0 ;∞[ par f x  ln) 1x (2x−5 −. x x On noteCla courbe représentative defdans le repère ³ O, − ı → , →− ´ . Partie A : étude d’une fonction auxiliaire Soitgla fonction définie sur ]0 ;∞[ parg(x)2x 2 −2lnx. 1.Calculerg ′ (x), puis étudier le signe deg ′ (x). 2.Dresser le tableau de variarions deg(les limites en 0 et en∞ne sont pas demandées). Calculerg(1) et en déduire le signe deg(x). Partie B : étude defet représentation graphique

1.u(t) est de la formeu(t)U sin(ωtϕ), où U etωsont des réels strictement positifs etϕun réel appartenant à ]−π;π]. On suppose, conformément à la représentation graphique de la fonction t7→u(t), queu(t) est nulle pourt0, pourt10 −2 et pourt2¢10 −2 et que la valeur maximale deu(t) est 325. Déterminer, à l’aide de la courbe, la période T et le réelϕ. On rappelle que 2π T; en déduire la valeur exacte de la pulsationω. ω 2.On admet désormais que la tensionu(t) est donnée paru(t)325 sin(100πt). La tension redresséeu C (t) est telle que : – sit∈ £ 0 ; 10 −2 ¤ ,u C (t)u(t), – sit∈ £ 10 −2 ; 2¢10 −2 ¤ ,u C (t) −u(t). a.Sur le dessin donné en annexe, tracer la représentation graphique deu C sur l’intervalle £ 0 ; 2¢10 −2 ¤ (Cette feuille est à rendre avec la copie.). b.Calculer la valeur moyenne de la tension redresséeu C (t) sur £ 0 ; 2¢10 −2 ¤ .

Annexeà rendre avec la copie

0

10 −2

France 4 septembre 2002

-325

t

2¢10 −2

Baccalauréat STI Génie civil, énergétique, mécanique L’intégra le 2003

1. a.Calculer limf(x). x→∞ b.Calculer lim éduire ( l’ x→0 f x d’une droite asymptote à existence). En dC. 2.Calculerf ′ (x). Vérifier quef ′ (x) x g( 2 x gnedlesieE. ) iuerdndéf ′ (x) et dresser le tableau de variations def. 3.Montrer que la droiteΔd’équationy2x−5 est te àCen∞. 4.Étudier la position deCpar rapport àΔ. 5.Montrer que l’équationf(x)0 admet deux solutionsαetβ(αβ) sur ]0 ;∞[. Donner une valeur approchée à 10 −1 près de chacune d’elles. → 6.Tracer, dans le repère ³ O,ı −→ , − ´ , la droiteΔet la courbeC.

Partie C : étude d’une aire 1.SoitHla fonction définie sur ]0 ;∞[ parH(x)(lnx) 2 . CalculerH ′ (x). 2.SoitEla partie du plan limitée parCla droiteΔet les droites d’équarionsxe etx5. (e : base du logarithme népérien). Calculer, en cm 2 , la valeur exacte de l’aire deE. En donner également une valeur approchée à 1 mm 2 près.

France

5

septembre 2002

A

[ Baccalauréat STI La Réunion septembre 2002\ Génie électronique électrotechnique, optique

E CECIXRE 1 4 points Dans l’urne A sont disposées 3 boules jaunes portant les indications + 3 ;−3 ; 1. Dans l’urne B sont disposées 3 boules vertes portant les indications + 3i ;−3i ; i. On tire une boule jaune puis une boule verte ; cela permet d’ob tenir un nombre complexez. (Par exemple si on tire la boule jaune marquée 3 puis la boule v erte marquée, i, le résultat est le nombre complexez3i. 1.Quels sont les différents résultats possibles ? On suppose dans tout, la suite que chacun de ces résultats a la même proba- bilité d’être obtenu. 2.Quelle est la probabilitép 1 que le nombre complexe obtenu ait un module égal à 3 2. 3.Soit les quatre tiragesz A ,z B ,z C etz D ,de module 3 p 2 et A, B, C et D les points d’affixes correspondantes. Représenter sur votre copie ces quatre points dans un plan muni d’un repère orthonormal (unité graphique 2 cm) et montrer que A, B, C et D sont les som- mets d’un carré. 4.On gagne la sommeS, en euros, égale au carré du module du nombre com- plexe obtenu. Par exemple si le complexe obtenu estz3i alors|z| 2 10 et la sommeSest 10 euros. Quelle est la loi de probabilité deSet quelle est l’espérance de gain au cours d’une partie ?

E EICRXCE  points2 4 Aucune connaissance de physique n’est nécessaire pour résoudre cet exercice −→ M ı O Un ressort à spires est attaché à son extrémité fixe A. On attac he un mobile à son autre extrémité M. On admet que l’abscisse du point M dans le repère ³ O, − ı → , −  → ´ vérifie l’équation dif- férentielle du second ordre (E)y ′′ 9y8 sint, oùyest une fonction du tempst (variable réelle positive). 1.Résoudre l’équation différentielle (E 0 ) :y ′′ 9y0. 2.Montrer que la fonction g définie sur [0,∞[ par g(t)A. cos 3tB. sin 3tsint(AetBréels) est une solution de l’équation différentielle (E). 3.On suppose qu’à l’instantt0, le ressort étant compressé, le mobile passe en O avec une vitesse de 4 m.s −1 .

ontrueiqle,érocthcetuqinpo,euqite A.P.M.E.P. BaccalauértaTSGInéeiléce

Première partie : travaux surf A. Gestion des données 1.Quelles sont les valeurs numériques def(0), def(−1) et def ′ (0) ? Justifier votre réponse. 2.Quelle est la limite defen∞. Justifier votre réponse. 3.Donner le tableau de variations de la fonctionf. 4.Donner le signe des nombres dérivésf ′ (−2) etf ′ (3) en justifiant votre ré- ponse. 5.Résoudre dansR Métropole 7 septembre 2002

P OREMÈLB 12 points Sur le graphique ci-dessous,Γla courbe représentative dans le repère orthonor-est → mal ³ O,ı −→ , − ´ d’une fonctionfdéfinie surR(figure 1). On suppose que •fest dérivable surRet strictement monotone sur les intervalles ]− ∞; 0] et [0 ;∞[, •f ′ (x)0 si et seulement six0. •Γpasse par les points A(−1 ; 0) et B(0 ;−1). •la droite d’équationy −1 est tangente à la courbeΓau point B. • x limf(x) ∞, →−∞ •l’axe des abscisses est asymptote à 4 la courbe lorsquextend vers∞.

3 3 Γ 2 2 1 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 O 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -1 -2 -2

On considère la fonctionhdéfinie sur [0 ;∞[ par : h(t)A. cos 3tB. sin 3tsint. Déterminer A et B pour quehsoit la solution de l’équation (E) qui vérifie les conditions initiales :h(0)0 eth ′ (0)4. 4.On admet dans cette question que : sin 3t −4 sin 3 t3 sint. Chercher les instantstoù le mobile repasse par le point de départ, c’est-à-dire résoudre dans l’ensenshle ]0 ;∞[ l’équationh(t)0.

BaccalauréatSTIGé .PE.M.P.A. ueiqpt,oqieucenhrttoléceque,ronilectnieé

8

septembre 2002

– l’équationf(x)0, – l’inéquationf ′ (x) > 0. B. Détermination de l’expression def(x) On suppose quef(x)(a xb)e −x oùaetbsont deux constantes réelles, etxla variable réelle. 1.Calculerf ′ (x) pour toutxréel en fonction deaet deb. 2.En utilisant la question A. 1. précédente, déterminer les valeurs deaet deb. Deuxième partie : travaux sur une primitive defsurR A

1.Donner le signe defd’après la courbeΓdonnée par la figure 1. 2.Justifier pourquoi, parmi les courbes proposées sur l’annexe, les courbesC G etC H , ne peuvent pas représenter une primitive defsurR. (On appelleFune primitive defdont la courbe représentativeC F est égale- ment tracée sur l’annexe (figure 2).

B 1.Déterminer une equation de la tangente àC F en son point d’abscisse 0. 2.Déterminer (sans chercher l’expression deF(x) en fonction dexl’aireA(en unités d’aire) de la portion du plan délimitée par la courbeΓ, l’axe des abs- cisses et les droites d’équationsx −1 etx2. Troisième partie : étude de la fonctionFsurR On suppose désormais que, pour toutxréel,F(x)(x2)e −x .A 1.CalculerF ′ (x). 2.Déterminer limF(x). x→−∞ x2 3. a.Montrer que pour toutxréel on aF(x) . e x e −x b.Calculer limF(x). x→∞ c.En déduire l’existence d’une asymptote dont on précisera une équation. B.se propose dans cette question de déterminer les points d’intersection deOn C f et de la droiteDoitauqé’dny3x6. 1.Résoudre dansRl’équation (x2) (e x −3)0. 2.En déduire les coordonnées des points recherchés.

Métropole

otechnique,optiqtcorinuq,elécertéaurTItSniGéleeécaBalac

x

x

4

septembre 2002

Métropole

9

e 2− (G)2 uger e− iFncti3:fo y onG F( F O e C exnn 4 A 3 - 2 - )2(F 2)0(F e)1− 1234 E.P.P.M. ue A. - 3 - 1 5- 2 1 3-4-1-2- -3 -2 C G -4 4 1 3- -1 2 3 )0(Fe−1 −(G O 0)1 gure2:fo 4e −2 y Fi 32--1-2 cnitno 1 F

Baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique, optique

Métropole

-4

-3

y

3

2

1

C H -2 -1  O  1 2 -1 H(−1) −e -2 H(0)0 -3 H(2)2e −2 -4 Figure 4 : fonctionH

10

3

4

A. P. M. E. P.

x

septembre 2002

[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2002\ Génie mécanique B, C, D, E, des matériaux

5 points

E ECICRXE 1 π On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argument  2  . On considère les deux nombres complexes : z 1 2 32i etz 2 2 2−2i 2. 1.Donner le module et un argument des deux nombres com- plexesz 1 etz 2 . En déduire le module et un argument de z 1 . z 2 2.Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ³ O, − u → , − v → ´ , d’unité graphique 1 cm. Utiliser les résultats obtenus dans la question 1, pour placer les points A et B d’affixes respectivesz 1 etz 2 en faisant apparaître les traits de construction. 3.Vérifier que z 1  4 6−2   4 i 6 mrselaégrbqieutearmpcoEnfoestlan. 2 z 2 trigonométrique de z 1 donner les valeurs exactes de cos µ 12 5π ¶ et de sin µ 5 1 π 2 ¶ z 2 4.Soit C le point d’affixez 3 4 z 1 . Placer le point C sur la figure faite à la question z 2 1. 5. dont on rcleet C sont situés sur un même ceMontrer que les trois points A, B précisera le centre et le rayon.

4 points

E ERCICEX 2 On considère l’équation différentielle 4y ′′ 9y0 (E) oùydésigne une fonction numérique de la variable réellex, deux fois dérivable, et y ′′ sa fonction dérivée seconde. 1.Soitgla fonction numérique définie, pour tout nombre réelx, par :g(x) 2 cos µ 3 2 x  π 6 ¶ . Vérifier quegest une solution particulière de (E). 2.Résoudre l’équation différentielle (E). 3.Déterminer la solution particulièrefde (E) telle que :f(π)1 et f ′ µ 9 5π ¶ 0,f ′ désignant la fonction dérivée def. 4.Montrer quefg.

P RMELÈOB

11 points