Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin Génie électronique électrotechnique et optique

[BaccalauréatSTIAntilles–Guyanejuin2010\
Génieélectronique,électrotechniqueetoptique
EXERCICE 1 5points
?
Rappel:idésignelenombrecomplexedemodule1etd’argument .
2
1. Résoudre,dansl’ensembleCdesnombrescomplexes,l’équation
2z ?10z?50?0.
Onexplicitera lesétapesdelarésolution.
2. Pourtoutnombrecomplexe z,onpose
3 2P(z)?z ?20z ?150z?500.
a. CalculerP(10).
b. Déterminerdesnombresréels a, b etc telsque,pourtoutnombrecom-
plexe z,onait:
¡ ¢
2P(z)?(z?10) az ?bz?c .
c. RésoudredansCl’équation P(z)?0.
¡ ¢!? !?
3. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct O, u, v , on
considèrelespointsA,B,CetDd’affixesrespectives:
z ?5?5i, z ?5?5i,z ?z ?z et z ?5.A B C A B D
a. PlacerlespointsA,B,CetD(onutiliseraunefeuilledepapiermillimétré
etonprendracommeunitégraphique1cm).
b. Déterminerlemoduleetunargumentde z ,z et z .A B C
c. Déterminer,enjustifiant,lanatureduquadrilatèreOACB.
4. SoitElepointd’affixe z ?2?4i.E
a. PlacerlepointEsurlafigureprécédente.
b. Calculerlesmodulesdesnombrescomplexes z ?z , z ?z et z ?z .A D B D E D
c. MontrerqueletriangleEABestrectangle.
EXERCICE 2 4points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Dans chacune des questions
suivantestroisaffirmationssontproposées,uneseuledecesaffirmationsestexacte.
Surlacopie,noterlenumérodelaquestionetrecopierl’affirmationexacte.Aucune
justificationn’estdemandée.
Barème:Uneréponseexacterapporte1point,uneréponseinexacteenlève0,5point;
l’absencederéponseouladonnéedeplusieursréponsesàunequestionnerapporteni
n’enlèvedepoint. Siletotal donneun nombrenégatif,la noteattribuéeà cetexercice
seraramenéeàzéro.
01. Onconsidèrel’équation différentielle (E): y ?y?x?1oùlafonctionincon-
nue y,dela variable x, estdéfinieetdérivablesur l’ensembleR desnombres
0réelset y désignesafonctiondérivée.BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique A.P.M.E.P.
?x? La fonction f définie par f(x)?e ?1 est une solution de l’équation
différentielle(E).
?x? La fonction g définie par g(x)?e ?x est une solution de l’équation
différentielle(E).
?x? Lafonctionh définieparh(x)?e ?x?1estunesolutiondel’équation
différentielle(E).
2. Un sac contient 32 jetons : huit rouges, huit jaunes, huit bleus et huit verts.
Les huit jetons d’une même couleur sont numérotés de 1 à 8. Un joueur tire
au hasard un jeton dans le sac. On suppose que les tirages des jetons sont
équiprobables.
S’il tire le numéro 8 rouge, il gagne 16 euros; s’il tire un numéro 8 qui n’est
pasrouge,ilgagne8euros;s’iltireunjetonrougequin’estpaslenuméro8,il
gagne4euros;pourtoutautretirage,ilperd4euros.
OnnoteXlavariablealéatoirequi,àchacundesrésultatspossiblesdutirage,
associelegainoulaperteréaliséparlejoueureneuros,ungainétantcompté
positivement etunepertenégativement. LesvaleursquepeutprendreXsont
donc:16;8;4;?4.
1
? LaprobabilitépourqueXprennelavaleur4estégaleà .
4
? L’espérancemathématiquedelavariablealéatoireXvaut?0,5.
? LaprobabilitépourqueXprenneunevaleurinférieureouégaleà4est
3
égaleà .
4
3. Un système est formé de deux amplificateurs A et B. À partir d’un signal ap-
pliquéàl’entréeE,onobtientunsignalàlasortieSsiaumoinsl’undesdeux
amplificateursfonctionne.
A
Onconsidèrelesévènements:
A:«L’amplificateurAfonctionne»;
BB:«L’amplificateurBfonctionne».
OnnoteP(A)etP(B)lesprobabilitésrespectivesdesévènementsAetB.
OnsupposequeP(A)=0,9;P(B)=0,75etquelaprobabilitépourquel’onn’ait
pasdesignalàlasortieestégaleà0,05.Onnote p laprobabilitépourqueAet
Bfonctionnentsimultanément.
? p?0,15.
? p?0,7.
? p?0,75.
2?3n4. Onconsidèrelasuite(u )définie,pourtoutentiernatureln,paru ?e .n n
? Lasuite(u )estunesuitearithmétique.n
? Lasuite(u )estunesuitegéométrique.n
? Lasuite(u )n’estniunesuitearithmétiqueniunesuitegéométrique.n
PROBLÈME 11points
PartieA:Étudedesigne
Soit g lafonctiondéfiniesurl’ensembleRdesnombresréelspar
2x xg(x)?e ?e ?1.
Antilles–Guyane 2 juin2010BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique A.P.M.E.P.
µ ¶21 3
x1. Montrerque,pourtoutnombreréel x, g(x)? e ? ? .
2 4
2. Endéduirelesignede g(x)pourtoutréel x.
PartieB:Étuded’unefonction
Onconsidèrelafonction f définiesurRpar
x3e
f(x)?x?2? .
xe ?1
On noteC la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormal
¡ ¢!? !?O, ı , | .
1. a. Déterminerlalimitede f(x)lorsque x tendvers?1.
b. Déterminerlalimitede f(x)lorsque x tendvers?1.
2. OnconsidèreladroiteD d’équation y?x?2.1
a. DémontrerqueladroiteD estasymptoteàlacourbeC en?1.1
b. ÉtudierlapositionrelativedelacourbeC parrapportàladroiteD .1
3. Danscettequestion,loutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiative,
mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
En visualisant la courbeC et la droiteD sur l’écran d’une calculatrice gra-1
phique, on obtient le tracé suivant, pour les abscisses comprises entre?5 et
7etlesordonnéescomprisesentre?3et6,lesgraduationsapparentessurles
axescorrespondentauxcoordonnéesentières.
Auvudecetracé,deuxélèvesontdevinéquecettecourbeadmetuneasymp-
tote en ?1, que l’on noteraD , le premier pense queD a pour équation2 2
y?x?1,ledeuxièmen’estpasd’accordetpensequecetteasymptoteapour
éqllation y?x?2.
Eneffectuantuncalculdelimite,déterminerlequeldesdeuxaraison.
04. Onnote f lafonctiondérivéedelafonction f.
g(x)0a. Montrerque,pourtoutnombreréel x, f (x)? ),oùg désignela
2x(e ?1)
fonctiondéfiniedanslapartieA.
b. Dresserletableaudevariationsdelafonction f.
c. DétermineruneéquationdelatangenteΔàlacourbeC aupointd’abs-
cisse0.
5. Montrer que l’équation f(x)?0 admet une unique solution, qu’onnotera?,
sur l’intervalle [?2 ; ?1], puis déterminer un encadrement de? d’amplitude
?210 .
6. En utilisant une feuille de papier millimétré et en prenant comme unité gra-¡ ¢!? !?
phique2cm,tracer,dansleplanmunidurepère O, ı , | ,lesdroitesD ,D1 2
etΔainsiquelacourbeC.
Antilles–Guyane 3 juin2010BaccalauréatSTIGénieélectronique,électrotechniqueetoptique A.P.M.E.P.
PartieC:Calculd’aire
1. Détermineruneprimitive F delafonction f surR.Onpourraremarquerque
x 0e u (x)
estdelaforme .
xe ?1 u(x)
2. On noteA l’aire de la partie du plan comprise entre la courbeC, l’axe des
abscissesetlesdroitesd’équation x??1et x?1.
a. Hachurercettepartieduplan.
b. Onadmetquelafonction f estpositivesur[?1; 1].Écrire,àl’aided’une
intégrale,l’aireA expriméeenunitésd’aire.
¡ ¢
?1c. Montrerqueln(e?1)?ln e ?1 ?1.
d. Endéduirelavaleurexactedel’aireA.
03. OnnoteA l’airedelapartieduplancompriseentreladroited’équation
1 1
y? x? ,l’axedesabscissesetlesdroitesd’équation x??1et x?1,expri-
4 2
0méeenunitésd’aire.MontrerqueA ?A.
Antilles–Guyane 4 juin2010