Baccalauréat STI mars 2010 Nouvelle-Calédonie

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI mars 2010 Nouvelle-Calédonie \ Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) . L'unité graphique est 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument π 2 . 1. Déterminer, sous forme algébrique, les nombres complexes z1 et z2 vérifiant le système : { z1+ iz2 = 2+ i (p 3+1 ) z1? iz2 = i (p 3?1 ) 2. On note A, B, C les points d'affixes respectives a = 1+ i p 3, b = 1? i, c = ab. a. Donner la forme algébrique de c. b. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com- plexes a, b et c. c. Placer les points A, B, C dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) . 3. Déduire de la question précédente, la valeur exacte de cos ( π 12 ) et de sin ( π 12 ) . 4. Soit M un point quelconque du plan complexe d'affixe z. a.

• solution particulière


• point quelconque du plan complexe d'affixe z


• points d'affixes respectives


• génie mécanique


• encadrement de? d'amplitude


• repère orthonormal direct

Sujets

• Génie mécanique

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mars 2010
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Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI mars 2010 NouvelleCalédonie\ Génie mécanique  Génie énergétique  Génie civil

E X E R C IC E points1 5 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. L’unité π graphique est 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 1.Déterminer, sous forme algébrique, les nombres complexesz 1 etz 2 vérifiant le système : ½ ¡ p ¢ z 1 +iz 2 =2+i 3+1 ¡p¢ z 1 −iz 2 =i 3−1 2.On note A, B, C les points d’affixes respectivesa=1+i 3,b=1−i,c=ab. a.Donner la forme algébrique dec. b.Déterminer le module et un argument de chacun des nombres com plexesa,betc. ³ ´ −→−→ c.Placer les points A, B, C dans le repèreO,u,v. ³ ´³ ´ π π 3..et de sinDéduire de la question précédente, la valeur exacte de cos 12 12 4.SoitMun point quelconque du plan complexe d’affixez. ¯ ¯ a.Interpréter géométriquement les modulesz−(1+eti 3)|z−(1−i)|∙ b.Déterminer alors l’ensembleDdes pointsMtels que ¯ ¯ z−(1+i 3)= |z−(1−i)|. ³ ´ −→−→ c.Représenter l’ensembleDdans le repèreO,u,v.

E X E R C IC E 2 On considère l’équation différentielle notée

4 points

′′ (E) 4y+9y=0 oùydésigne une fonction numérique de la variable réelletdéfinie et deux fois dé rivable sur l’ensembleRdes nombres réels. 1.Résoudre l’équation différentielle (E). 2.Déterminer la solution particulièrefde l’équation différentielle (E) vérifiant les conditions : 3 ′ f(0)=1 etf(2π)=. 2 µ ¶ 3π 3.Démontrer que pour tout nombre réelt:f(t)=2 cost+. 2 4 · ¸ 2π 4.Déterminer la valeur moyenne de la fonctionf.sur l’intervalle0 ; 3

Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil

A. P. M. E. P.

P R O B L È M E 11 points On considère la fonctionfdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par −x2 f(x)= −e+x+x. On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans un repère orthonormal ³ ´ −→−→ O,ı,du plan. Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire −x On considère la fonctiongdéfinie pour tout nombre réelxpar :g(x)=e+2x+1. ′ On notegla fonction dérivée deg. ′ 1.Calculerg(x). ′ 2.Déterminer le signe deg(x) suivant les valeurs dex. 3.En déduire le sens de variation degsur l’ensembleRdes nombres réels et dresser son tableau de variations. On précisera la valeur exacte de l’extremum deg. 4.En déduire queg(x)>0 pour tout nombre réelx.

Partie B : Étude de la fonctionf ′ On notefla fonction dérivée de la fonctionf. 1.Étude des limites def a.Déterminer la limite defen+∞. µ ¶ −x −e 1 2 b.Vérifier quef(x)=x+1+et déterminer la limite defen−∞. 2 (−x)x 2.Étude des variations def ′ a.Montrer que pour tout nombre réelx:f(x)=g(x). ′ b.Déduire de la partie A le signe def(x) puis dresser le tableau de variation def∙ 3.Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαappartenant à l’intervalle [0 ; 1]. −2 À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement deαd’amplitude 10. 4.On considère la fonctionpdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par 2 p(x)=x+x. Sa courbe représentative notéePest représentée sur la feuille annexe. a.Étudier la position relative deCet deP. b.[Calculer limf(x)−p(x)]. x→+∞ ³ ´ −→−→ 5.O,Construire dans le repèreı,la courbeCsur la feuille annexe en te nant compte des précédents résultats.

Partie C : Calcul d’une aire

1.Soitβun nombre réel strictement supérieur à 1. Calculer en unités d’aire, l’aireA(β) du domaine plan compris entre les courbesCetPd’une part, les droites d’équationsx=1 etx=βd’autre part. 2.Déterminer la limite deA(β) quandβtend vers+∞.

NouvelleCalédonie

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mars 2010

Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil

Feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie

8 P 7 6 5 4 3 2 1

A. P. M. E. P.

O −8−7−6−5−4−3−2−1 12 3 4 5 6 7 −1 −2 −3

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mars 2010