Baccalauréat STI Novembre 2009

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Novembre 2009 \ Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil Nouvelle-Calédonie EXERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ?? u , ?? v ) . L'unité graphique est 1 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d' argument π 2 · Soit P le polynôme défini pour tout nombre complexe z par : P (z)= z3+2z2?16. 1. Résolution de l'équation P (z)= 0. a. Calculer P (2) et déterminer deux nombres réels ? et ? tels que P (z)= (z?2) ( z2+?z+? ) . b. Résoudre, dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation P (z)= 0. On désigne par A, B, et C les points d'affixes respectives : a = 2 ; b =?2?2i ; c = 4i. , 2. Étude du triangle ABC a. Placer les points A, B, et C dans le repère ( O, ?? u , ?? v ) . b. Calculer les modules des nombres complexes b?a, c?a et c?b· c. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.

• point ? dans le repère


• nouvelle calédonie


• unique solution


• probabilité


• ques- tion


• equation différentielle

Sujets

• Nouvelle Calédonie
• Probabilité
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2009
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Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Novembre 2009\ Génie mécanique  Génie énergétique  Génie civil NouvelleCalédonie

E X E R C IC E 1 5points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. L’unité graphique est 1 cm. π On note i le nombre complexe de module 1 et d’ argument∙ 2 SoitPle polynôme défini pour tout nombre complexezpar : 3 2 P(z)=z+2z−16. 1.Résolution de l’équationP(z)=0. a.CalculerP(2) et déterminer deux nombres réelsαetβtels que ¡ ¢ 2 P(z)=(z−2)z+αz+β. b.Résoudre, dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation P(z)=0. On désigne par A, B, et C les points d’affixes respectives : a=2 ;b= −2−2i ;c=4i. , 2.Étude du triangle ABC ³ ´ −→−→ a.Placer les points A, B, et C dans le repèreO,u,v. b.Calculer les modules des nombres complexesb−a,c−aetc−b∙ c.Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A. d.Déterminer l’affixeddu point D tel que le quadrilatère ABDC soit un carré. 3iπ 4 3.On noteΩle point du plan d’affixeω=2e . a.Déterminer l’écriture algébrique deωet placer le pointΩdans le repère ³ ´ −→−→ O,u,v. b.Démontrer que les points A, B, C, et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 

E X E R C IC E 2 4points 1.On note (x n ) la suite arithmétique de premier termex 0 =10 et de raisonr. Sachant quex 0 +x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =100, déterminerret en déduire les valeurs dex 1 ,x 2 ,x 3 etx 4 . 2.acune de cesUn sac contient 100 boules indiscernables au toucher. Sur ch boules est inscrit l’un des numéros 0, 1, 2, 3 ou 4. Le nombre de boules portant chaque numéro est indiqué dans le tableau cidessous : t Numéro de la boule0 1 2 3 4 Nombre de boules portant ce numéro10 15 20 25 30 Un joueur tire au hasard une boule dans le sac, et on admet que les tirages sont équiprobables. Pour chaque entierncompris entre 0 et 4, on noteP n la probabilité que le joueur tire une boule portant le numéron. Déterminer les valeurs des nombresP 0 ,P 1 ,P 2 ,P 3 etP 4 ∙

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A. P. M. E. P.

3.On convient de la règle du jeu suivante : •si le numéronde la boule tirée est impair, le joueur perdneuros (son gain est donc égal à−neuros) ; •si le numéronde la boule tirée est pair, le joueur gagneneuros (son gain est donc égal à +neuros) . On noteXla variable aléatoire qui, à chaque tirage d’une boule associe le gain du joueur. a.Déterminer les valeurs possibles de la variable aléatoireX. b.Justifier que la probabilité de l’évènement (X=2) est égale à 0,2. c.Donner, dans un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoireX puis déterminer son espérance mathématique E(X). d.entOn modifie la règle du jeu de façon à ce que les numéros pairs soi perdants (le gain est égal à−neuros) et les impairs gagnants (le gain est égal à+neuros). Calculer, selon cette nouvelle règle, l’espérance mathématique de la va riable aléatoireYassociée au gain du joueur.

P R O B L È M E 11 points Partie A : résolution d’une équation différentielle Dans cette partie, on se propose de déterminer une solution particulière de l’équa tion différentielle ′ ( E 1 ) :y+2y=x oùydésigne une fonction numérique de la variablex, définie et dérivable sur l’en sembleRdes nombres réels. ′ 1.Résoudre l’équation différentielle (E 2 ) :y+2y=0. 2.Vérifier que la fonctionudéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels, par 1 1 u(x)=x−, est une solution de l’équation différentielle (E 1 ). 2 4 3.On admet que toute solutionϕde l’équation (E 1 ) est de la formeϕ(x)=u(x)+ −2x Ce oùCest un nombre réel quelconque etula fonction définie à la ques tion 2. 3 Déterminer la solutionϕ 0 de l’équation (E 1 ) telle que :ϕ 0 (0)=. 4

Partie B : étude d’une fonction medskip On notefla fonction définie sur l’ensembleRdes nombres réels par : 1 1 −2x f(x)=x− +e . 2 4 ³ ´ −→−→ On désigne parCsa courbe représentative dans un repère orthogonalO,ı,, d’unités 4 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées. 1.Étude des limites de la fonctionf a.Déterminer la limite defen+∞∙ µ ¶ 1 1 −2x2x2x b.Justifier quef(x)=exe−e+1 eten déduire la limite def 2 4 en−∞. 1 1 c.Démontrer que la droiteDd’équationy=x−est asymptote à la 2 4 courbeCen+∞, et préciser la position de la courbeCpar rapport à la droiteD.

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A. P. M. E. P.

2.Étude des variations de la fonctionf ′ a.Déterminer l’expression de la dérivéefde la fonctionf∙ 1 −2x b.Résoudre l’inéquation e 6 et en déduire le tableau des variations 4 de la fonctionf. c.Déterminer l’équation de la tangenteTà la courbeCen son point d’abs cisse 0. 1 d.Montrer que l’équationf(x)=possède une unique solution sur l’in 2 tervalle [1; 2]. Justifier avec précision et donner un encadrement d’am −2 plitude 10de cette solution. ³ ´ −→−→ 3.O,Tracer, dans le repèreı,, les droitesDetT, puis tracer la courbeC

Partie C : Calcul d’une aire

1.Soitm2. On noteun nombre réel strictement supérieur à lnA(m) l’aire, ex primée en unité d’aire, du domaine plan délimité par la courbeC, la droiteD et les droites d’équationsx=etln 2x=m∙ DéterminerA(m) en fonction dem. 2.Calculer la limite deA(m) lorsquemtend vers+∞∙

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