Baccalauréat STI Novembre 2010

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat STI Novembre 2010 \ Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil Nouvelle-Calédonie EXERCICE 1 4 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) . L'unité graphique est 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument pi2 . Pour tout nombre complexe z, on pose : P (z)= z3+ (2p3?2) z2+ (4?4p3)z?8. 1. Résolution de l'équation P (z)= 0 a. Calculer P (2). b. Déterminer les deux nombres réels ? et ? tels que, pour tout nombre complexe z : P (z)= (z?2)(z2+?z+?) . c. Résoudre dans l'ensembleC des nombres complexes l'équationP (z) = 0. 2. On considère les points A, B, C, d'affixes respectives : a = 2, b =?p3+ i, c =?p3? i. a. Déterminer le module et un argument des nombres complexes b et c. b. En déduire que les points A, B, et C appartiennent à un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. c. Placer les points A, B, C dans le repère ( O, ??u , ??v ) et tracer le cercle C .

• contenue dans l'échantillon


• masse de carbone


• solution particulière de l'équation différentielle


• génie mécanique


• equation différentielle


• échantillon d'os fossile

Sujets

• Génie mécanique
• Équation différentielle

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2010
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Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat STI Novembre 2010\ Génie mécanique  Génie énergétique  Génie civil NouvelleCalédonie

E X E R C IC E points1 4 ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal directO,u,v. L’unité graphique est 2 cm. π On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument. 2 ¡ ¢¡ ¢ 3 2 Pour tout nombre complexez, on pose :P(z)=z+2 3−2z+4−4 3z−8. 1.Résolution de l’équationP(z)=0 a.CalculerP(2). b.Déterminer les deux nombres réelsαetβtels que, pour tout nombre complexez: ¡ ¢ 2 P(z)=(z−2)z+αz+β. c.Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes l’équationP(z)=0. 2.On considère les points A, B, C, d’affixes respectives : a=2,b= −3+i,c= −3−i. a.Déterminer le module et un argument des nombres complexesbetc. b.En déduire que les points A, B, et C appartiennent à un cercleCdont on précisera le centre et le rayon. ³ ´ −→−→ c.Placer les points A, B, C dans le repèreO,u,vet tracer le cercleC. d.Démontrer que le triangle OBC est équilatéral. ³ ´ −→−→ e.En déduire une mesure deOC .OB ,En déduire une mesure de l’angle ³ ´ −→−→ l’angle AB, AC.

E X E R C IC E points2 5 On dispose d’un échantillon d’os fossile contenant initialement une masse de 10 grammes de carbone 14. Le but de l’exercice est d’étudier l’évolution de cette masse au fil des siècles, par deux méthodes différentes. Partie A : Première méthode On considère que la masse de carbone 14 dans un tel échantillon diminue à raison de 1,2 % par siècle. 1.Quelle masse de carbone 14 contiendra l’échantillon : a.un siècle plus tard ? b.deux siècles plus tard ? 2.On noteM n la masse de carbone 14 contenue dans l’échantillon au bout den siècles, oùnest un entier naturel. a.Démontrer que la suite (M n 988.) est une suite géométrique de raison 0, b.ExprimerM n en fonction den. 3.Déterminer au bout de combien de siècles, la masse de carbone 14 contenue dans l’échantillon sera inférieure à 5 g.

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Partie B : Seconde méthode

A. P. M. E. P.

On notem(t) la masse en gramme de carbone 14 contenue dans l’échantillon à l’ins tantt(en siècle). On admet que la fonctionmest solution de l’équation différentielle

′ −2 (E) :y+1, 21∙10y=0. 1.Résoudre l’équation différentielle (E). 2.Déterminer la solution particulière de l’équation différentielle (E), qui vérifie : m(0)=10. 3.Déterminer au bout de combien de siècles, la masse de carbone 14 contenue dans l’échantillon sera inférieure à 5 grammes.

P R O B L È M E 11 points ³ ´ −→−→ Le planPest rapporté à un repère orthonormalO,ı,. L’unité graphique est 2 cm. On considère la fonctionfdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par :

−x f(x)=xe−2x+3. ³ ´ −→−→ On noteCla courbe représentative de la fonctionfdans le repèreO,ı,.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonctiongdéfinie sur l’ensembleRdes nombres réels par :

−x g(x)=e (1−x)−2. 1.Déterminer la limite de la fonctiongen−∞, puis en+∞. 2.Étude des variations de la fonctiong ′ a.Calculer la fonction dérivéegde la fonctionget étudier son signe surR. b.Dresser le tableau de variations de la fonctiongsurR. 3.Étude du signe de la fonctiong a.Démontrer que l’équationg(x)=0 possède une unique solution surR. Démontrer que cette solution, notéeα, appartient à l’intervalle [−1 ; 0]. b.Donner la valeur approchée deαarrondie au centième. c.Déduire des questions précédentes le signe deg(x) en fonction des va leurs dex.

Partie B : Étude de la fonctionf

1.Étude des limites a.Déterminer la limite de la fonctionfen+∞. −x b.En remarquant que, pour tout réelx,f(x)=x(e−2)+3, déterminer la limite defen−∞. 2.Étude d’une asymptote a.Montrer que la droiteDd’équationy= −2x+3 est une asymptote à la courbeCen+∞. b.Étudier la position relative de la droiteDet de la courbeC. 3.Étude des variations de la fonctionf ′ a.Vérifier que pour tout nombre réelx,f(x)=g(x) oùgest la fonction ′ définie dans la partie A et oùfdésigne la fonction dérivée de la fonction f.

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A. P. M. E. P.

b.En utilisant le signe de la fonctiong, obtenu précédemment, dresser le tableau de variations de la fonctionfsurR. (On prendra :f(α)≈3, 2) ³ ´ −→−→ 4.Construire la droiteDpuis la courbeCO,dans le repèreı,.

Partie C : Calcul d’aire

1.On noteHla fonction définie surRpar :

−x H(x)=(−x−1)e . ′ ′ a.CalculerH(x) oùHdésigne la fonction dérivée de la fonctionH. b.En déduire une primitiveFde la fonctionfsurR. 2 2.l’aireCalculer en cmAdu domaine compris entre la courbeC, l’axe des 3 abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équationx=. On donnera une 2 2 valeur exacte deApuis la valeur arrondie au mm.

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