Corrige Bac Mathematiques Specialite 2008 S

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Corrigé par Bankexam.fr Exercice 1 1) a) F est dérivable sur ]0 ;+∞ [ 1F'(x)= ln(x)+ x× −1= ln(x) xF est donc une primitive de la fonction logarithme népérien. eD’où I =[x ln(x)− x] 1I = e.ln(e)− e− (ln(1)−1)= 1 e2b) J = ln(x) dx ∫ 12u(x)= ln(x)Soit v'(x)= 12.ln(x)u'(x)=On a xv(x)= xLes fonctions u, u’, v et v’ sont continues sur ]0 ;+∞ [ ee 2.ln(x)2[ ]J = x.ln(x) − × x.dx 1 ∫ 1 xe2 2J = e.ln(e) − ln(1) − 2 ln(x).dx ∫ 1Donc J = e− 2I c) On a vu, I = 1, d’où J = e - 2. d) Sur l’intervalle [1 ; e] on a f (x)≥ g(x) eOn cherche donc [ f (x)− g(x)]dx ∫ 1e eD’où A= f (x).dx− g(x).dx= I − J = 1− e+ 2 ∫ ∫1 1A = 3 - e 2) On cherche x tel que la distance MN à l’abscisse x entre C et C soit maximale. f gSoit la fonction h(x) représentant la distance entre M et N. h(x) = f(x) - g(x). Via une étude de fonction, nous allons établir la pente de h(x) et ses extrémités. 2h(x)= ln(x)− ln(x) h est dérivable sur [1 ; e] 1 1 1− 2.ln(x)h'(x)= − 2.ln(x) = x x xx étant strictement positif, h’(x) a le signe et les zéros de 1− 2.ln(x) On cherche donc 1− 2.ln(x)= 0 1Soit : x= e pour obtenir h’(x) = 0. 1Donc 1− 2.ln(x)< 0 pour x> e Dessiner le tableau de variation de h(x). 1h(x) est maximal pour x= e 1Donc MN est maximal pour x= e 1 1 1 2et h( h( e )= ln( e )− ln( e ) = 0,5− 0,25= 0,25 1Et MN vaut 0,25 pour x= e . Exercice 2. 1) a) Les vecteurs AB(0;1;1) et AC(2;−2;2) ne sont pas colinéaires car non ...

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Corrigé par Bankexam.fr   Exercice 1   1) a)F est dérivable sur ]0 ;+ ∞[ F' (x)=ln(x)+x× 1 −1=ln(x) 

F est donc une primitive de la fonction logarithme népérien. D’oùI= [ xln(x)−x ] 1 e   I=e.ln(e)−e−(ln(1)−1)=1     b)J= ∫ 1 e ln(x) 2 dx  Soit  ( )=ln( ) 2     u v' ( x x)=1 x   On a      v u(' (x x) ) = =x 2.ln x (x) Les fonctions u, u’, v et v’ sont continues sur ]0 ;+ ∞[   J=x.ln(x) 2 1 e − ∫ 1 e 2.ln(x) ×x.dx  e J e e2 lnx dx =.ln( ) 2 −ln(1) 2 − ∫ 1 ( ).   Donc J=e−2I     c)On a vu, I = 1, d’où J = e - 2.   d)Sur l’intervalle [1 ; e] on af(x)≥g(x) e On cherche donc ∫ 1 [ f(x)−g(x) ] dx  ∫ e ∫ e = − = − D’oùA= 1 f(x).dx− 1 g(x).dx I J1e+2 A = 3 - e   2)On cherche x tel que la distance MN à l’abscisse x entreC f etC g soit maxim Soit la fonction h(x) représentant la distance entre M et N. h(x) = f(x) - g(x).   Via une étude de fonction, nous allons établir la pente de h(x) et ses extrémités.   h(x)=ln(x)−ln(x) 2   h est dérivable sur [1 ; e] h' (x)= 1 −2.ln(x 1 )= 1−2.ln(x)

x étant strictement positif, h’(x) a le signe et les zéros de 1−2.ln(x) On cherche donc  

ale.