Corrigé du baccalauréat S

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Corrigé du baccalauréat S \ Nouvelle-Calédonie 15 novembre 2010 EXERCICE 1 7 points Commun à tous les candidats PARTIE A : restitution organisée de connaissances PARTIE B : 1. a. f somme de fonctions dérivables sur [1 ; +∞[ est dérivable et sur cet intervalle : ??(x)= 2x?4x ln x?2x2 ? 1 x = 2x?4x ln x?2x =?4x lnx. Comme x > 1? lnx > 0, il en résulte que sur [1 ; +∞[, ??(x)6 0 : ? est donc décroissante sur [1 ; +∞[. b. ?(e)= 1+e2?2e2? lne= 1?e2 ≈?6,4. D'autre part ?(1)= 1+1?2?0 = 2. La fonction est décroissante sur [1 ; e],?(e)< 0 et ?(1)> 0, donc la fonc- tion ? continue car dérivable s'annule une seule fois en ?? [0 ; 1]. La calculatrice donne : ?(1,8)≈ 0,4 ; ?(1,9)≈?0,02, donc : 1,8 0 ; - ?(?)= 0 ; - sur ]? ; +∞[, ?(x)< 0.

• cercle ?? de centre o? et de rayon o?o


• rayon de la sphère


• o?


• lnx x2


• ??


• ??


• similitude indirecte

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2010
• Nombre de lectures: 16
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[CorrigédubaccalauréatS\
Nouvelle-Calédonie15novembre2010
EXERCICE 1 7points
Communàtouslescandidats
PARTIEA:restitutionorganiséedeconnaissances
PARTIEB:
1. a. f somme de fonctions dérivables sur [1 ; ?1[ est dérivable et sur cet
intervalle:
10 2' (x)?2x?4xlnx?2x ? ?2x?4xlnx?2x??4xlnx.
x
0Comme x>1)lnx>0, ilenrésultequesur [1; ?1[, ' (x)60:'est
doncdécroissantesur[1;?1[.
2 2 2b. '(e)?1?e ?2e ?lne?1?e ??6,4.
D’autrepart'(1)?1?1?2?0?2.
Lafonctionestdécroissantesur[1; e],'(e)?0et'(1)?0,donclafonc-
tion'continuecardérivables’annuleuneseulefoisen?2[0 ; 1].
Lacalculatricedonne:
'(1,8)?0,4;'(1,9)??0,02, donc:
1,8???1,9.
c. Lavariationde'montreque:
-sur[1 ; ?[, '(x)?0;
-'(?)?0;
-sur]?;?1[, '(x)?0.
2. a. Le dénominateur ne peut s’annuler, donc f quotient de fonctions déri-
vablessur[1;?1[estdérivableetsurcetintervalle:
? ?
1 2 2 2? 1?x ?2xlnx 1?x ?2x lnx '(x)x0f (x)? ? ? .? ? ? ? ? ?2 2 22 2 21?x x 1?x x 1?x
b. Delaquestion1.c.ondéduitque:
0-sur[1 ; e[, f (x)?0:lafonctionestcroissantesurcetintervalle;
0- f (?)?0;
0-sur]?;?1[, f (x)?0:lafonctionestdécroissantesurcetintervalle.
1 12 2c. Onax ?x ?1 () ? etenmultipliantparlnx>0,carx>1,
2 21?x x
onobtient:
lnx lnx lnx
6 ,soit f(x)6 .
2 2 21?x x x
2Deplussur[1;?1[, lnx>0et1?x ?1?0,donc f(x)>0.
Finalement:pourtoutx appartenantàl’intervalle[1;?1[ona:
lnx
06 f(x)6 .
2x
lnx
d. Onsaitque lim ?0,doncd’aprèslethéorèmedesgendarmesl’en-
2x!?1 x
cadrementprécédentmontreque lim f(x)?0.
x!?1BaccalauréatS A.P.M.E.P.
3. a. Posons:
( 10u(x) ? lnx u (x) ?
x1 .0 1v (x) ?
2 v(x) ??x x
Toutescesfonctionsétantcontinuescardérivablessurl’intervalle[1; e],
onpeutintégrerparparties:
? ? ? ? ? ?Z Ze ee elnx 1 1 lnx 1 lne 1 ln1 1
dx? ?lnx? ? ? dx? ? ? ?? ? ? ? ?
2 2x x x x x e e 1 11 1 1 1
2
1? .
e
2b. Puisquel’unitéd’aireestégaleà1cm ,onsaitquel’intégraleprécédente
estégaleàA.
lnx
On a vu que 06 f(x)6 , donc d’après la restitution organisée de
2x
connaissancesdelapartieA,ona
2
06A61? (soitàpeuprès0?A60,265.
e
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
??i
21. a. z ??2i?2e .A p
2z ?? 3?idoncjz j ?3?1?4?2)jz j?2.B B B? !p
? ?3 1 5?5? 5? i 6Onpeutdoncécrirez ?2 ? ?i ?2 cos ?isin ?2e .B 6 62 2
? !p
? ?3 1 ?? ? i
6Onademêmejz j?2,d’oùz ?2 ?i ?2 cos ?isin ?2e .C C 6 62 2
b. z , z etz ontpourmodule2,soitOA=OB=OC=2,cequisignifiequeA B C
A,BetCappartiennentaucercleΓdecentreOetderayon2.
c.
D
Γ
B C
O
0O
A
2.
? p ??p ?p p p
? 3?3i 3?3iz ?z ? 3?i?2i ? 3?3i ?3?6i 3?9B A
a. ? ? ? ? ?p p ?p ??p ?
z ?z 3?93?i?2i 3?3i 3?3i 3?3iC A
p
6?6i 1?i 1 3 ?? ? i
3? ? ?i ?cos ?isin ?e .3 312 2 2 2
b. Lerésultatprécédentpeuts’écrire:
?i
3z ?z ?e (z ?z ) : cette égalité signifie que B est l’image de C dansB A C A
?
larotationdecentreAetd’angle .
3
Nouvelle-Calédonie 2 15novembre2010
bbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
?
Le triangle ABC est isocèle en A d’angle au sommet ; tous ses angles
3
sontdoncégauxetletriangle(ABC)estéquilatéral(indirect).
0 03. a. SiM d’affixez apourimageM d’affixez parr,ona:
?0 i
3z ?z ?e (z?z ).A A
0
0EnparticuliersiOd’affixe0apourimageO d’affixez ,alors:O
?i 3z 0?2i?e (0?2i)ouencoreO ? !p
p p1 3
z 0??2i? ?i ?(2i)??2i?i? 3?? 3?i.O
2 2
0b. On a z 0?z ?0, ce qui signifie que O est le milieu de [CO ] qui est unO C
diamètredeΓ.
0c. L’imagedeΓapourcentrel’imagedeO,soitO etpourrayon2.Ontrace
0 0 0donclecercleΓ decentreO etderayonO O
d. Le point A appartient àΓ; c’estle centre dela rotationr ; il est donc in-
0variantetappartientdoncàΓ .
DemêmelepointCappartientàΓ;sonimageparr estBquiappartient
0doncàΓ .
0LescerclesΓetΓ ontencommunlespointsAetB.
? p ? ? ? p ??
? ? ? ?4. a. jzj? z? 3?i peut s’écrirejzj? z? ? 3?i ce qui signifie géomé-
0 0triquement que OM?O M () M est équidistant deO et deO , c’est-
0à-dire que M appartient à la médiatrice du segment [OO ] qui est donc
l’ensemble(E).
0b. Pardéfinitiondelarotationr,onaAO=AO ,doncAappartientà(E).
0 0OnvientdevoirqueBappartientaucercleΓ derayon2,doncO B=2=
0OB.BestdoncluiaussiéquidistantdeOetdeO :ilappartientà(E).
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantchoisil’enseignementdespécialité
p p
1. a. z ? 6?i 2,doncA
? p ? p22jz j ?6?2?8? 2 2 )jz j?2 2.A A
Onpeutenfactorisantcemoduleécrire:
? !p
p p ? ? p3 1 ?? ? i
6z ?2 2 ?i ?2 2 cos ?isin ?2 2e .A 6 62 2
p p
Demêmez ?? 2?i 6,doncB
? p ? p22j j j jz ?2?6?8? 2 2 ) z ?2 2.B B
Onpeutenfactorisantcemoduleécrire:
? !p
p p ? ? p1 3 2?2? 2? i 3z ?2 2 ? ?i ?2 2 cos ?isin ?2 2e .B 3 32 2
? ? ? ?p p p p2? ? 3? ? ? ? ?i i ? i ? i i3 6 6 6 2 2 6b. Onaz ?2 2e ?2 2e ?2 2e ?e ?2 2e .B
?i
2Finalement:z ?e z cequimontrequelepointBestl’imagedupointB A
?
AdanslarotationdecentreOetd’angle ,(doncdanslequart-de-tour
2
directdecentreO).
OnadoncOA=OB:letriangleestisocèleenO;
? ???! ??! ?
OA ; OB ? :letriangleestrectangleenO.
2 p
Remarque: on pouvait également montrer que OA= OB?2 2, donc le
? ??! ?! 2? ? ?
triangleest isocèle et montrer ensuite que OA ; OB ? ? ? : le
3 6 2
triangleOABestdoncrectangledirectenO.
Nouvelle-Calédonie 3 15novembre2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
? p ?
0c. Comme 1?i 3 0?0,lepointOestinvariantpar f.AapourimageA ,
0BapourimageB .
L’imageparunesimilitudeindirectedutrianglerectangledirectOABest
0 0letriangleindirect,rectangleenO,OA B .
? p ? ? p ?p p ? p ??p p ? p p
0d. z ? 1?i 3 z ? 1?i 3 6?i 2? 1?i 3 6?i 2 ? 6? 6?AAp p p p
i 2?3i 2?2 6?2i 2?2z .LedernierrésultatmontrequelespointsA
0 0 0O,AetA sontalignésetqueAestlemilieude[OA ]:A estdonclesymé-
triquedeOautourdeA.Ilsuffitensuitedecompléterletrianglerectangle
0 0enOindirect,OA B .
?0 i 0
32. a. L’écriture complexe de r est z ? ze et celle de s est z ? z. L’écriture
?0 i
3complexedeg?r?s estdoncz ?ze .
?i 3b. Onaze ?0,doncOestinvariantparg ;
L’imageparg deAapouraffixe:
? !p p p p p
p p ?p p ? p? 1 3 6 6 3 2 2i 36?i 2e ? 6?i 2 ?i ? ? ?i ?i ? 6?
2 2 2 2 2 2
p
i 2?z .DoncAestluiaussiinvariantparg.A
c. g composéed’unesimilitudeindirecteetd’unesimilitudedirecteestune
similitude indirecteayantdeuxpointsinvariantsdistincts:c’estdoncla
réflexiond’axe(OA).
3. a. L’écriturecomplexede f est:
? !p
? p ? 1 30z ? 1?i 3 z?2 ?i z.
2 2
Onvoitdoncque f estlacomposée delasimilitude g suivie del’homo-
0thétieh decentreOetderapport2,d’écriturecomplexez ?2z.
Donc f ?h?g.
b. D’aprèslaquestionprécédente: f ?h?g?h?(r?s).
Pourtrouverl’imaged’unpointCpar f :
? ?!?
– OnconstruitlesymétriqueC deCautourde O, u ;1
– puisl’imageC deC danslarotationr ;2 1
0– etenfinl’imageC deC parl’homothétiedecentreOetderapport2
2.
EXERCICE 3 4points
Communàtouslescandidats
Lesquestions1.et2.sontindépendantes
1. a. Letirageétantsimultanélenombredetiragesestceluide2boulesparmi? ?
55,soit .2
Lenombredecasfavorables est, les boulesvertesétant retirées, égalau
nombredecombinaisonsde2boulesrougeschoisiesparmi3.
? ?3
32
Onadoncp(X?0)? ? ?? ?0,3.5 10
2
? ? ? ?
2 3? 2?3 61 1
b. Onademêmep(X?1)? ? ? ? ?
5 10 10
2? ?2
12Enfinp(X?2)? ? .? ?5 10
2
3 6 1 8 4
OnadoncE?0? ?1? ?2? ? ? ?0,8.
10 10 10 10 5
Nouvelle-Calédonie 4 15novembre2010BaccalauréatS A.P.M.E.P.
c. SilesdeuxboulessontrougesX ?0etsilesdeuxboulessontvertes
X ?2.
3 1 4 2
Doncp(A)?p(X?0)?p(X ?2)? ? ? ? .
10 10 10 5
2. a.
2 3 3
Onap(B)?p(V )?p (R )? ? ? .1 V 21
5 4 10
3 2 2 3 6 3 27
p(C)?p(R )?p (V )?p(V )?p (R )? ? ? ? ? ? ? ?1 R 2 1 V 21 1 5 5 5 4 25 10 50
54
?0,54.
100
3
5 R2
3 R15
V2 2
5
3
4 R2
2
V15
1 V2
4
b. Ilfautcalculer:
2 3 3?p(C\V ) 3 50 15 51 5 4 10
p (V )? ? ? ? ? ? ? .C 1 27 27p(C) 10 27 27 9
50 50
EXERCICE 4 4points
Communàtouslescandidats
? ?!? !? !?
L’espaceestmunid’unrepèreorthonormé O, ı , | , k .
1. IntersectionduplanP etdeladroiteD.
a. UneéquationdeP est1x?4y?1z?d?0;
A(3; 1; 2)2P () 3?4?2?d?0 () d??1.
Conclusion:M(x ; y ; z)2P () x?4y?z?1?0.
!? !?
b. Ona n ?u ?1?4?3?0, cequi signifie quela droiteD estparallèle au
planP.
Or Bestunpoint dedeD etB(1 ; 4; 2)2P () 1?16?2?1?0 ()
?14?0quiestfausse.DoncB?P.
Conclusion:ladroiteD estparallèleauplanP etdistinctedecelui-ci.
2. IntersectionduplanP etdelasphèreS .
pj1?36?1j 36 36
a. d(Ω;P)? p ?p ? p ?6 2.
2 2 2 18 3 21 ?(?4) ?1
? p ? p22 2 2 2b. Unrayonest[ΩA];orΩA ?2 ?(?8) ?2 ?72? 6 2 )ΩA?6 2.
La distance du