Sujets de baccalauréat, Suites numériques Année 2006

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• Publié par: classe-de-terminale-s
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatS2006\
L’intégraledeseptembre2005
àjuin2006
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2005 ........................3
Métropoleseptembre2005 ..............................6
Polynésiespécialitéseptembre2005 ...................10
Nouvelle-Calédonienovembre2005 ................... 14
AmériqueduSudnovembre2005 ......................18
Pondichéryavril2006 ...................................24
AmériqueduNordjuin2006 ........................... 28
Antilles-Guyanejuin2006 ..............................33
Asiejuin2006 ...........................................37
Centresétrangersjuin2006 .............................42
Métropolejuin2006 ....................................47
LaRéunionjuin2006 ...................................50
Libanmai2006 .........................................56
Polynésiejuin2006 .....................................60BaccalauréatS:l’intégrale2006 A.P.M.E.P.
2[BaccalauréatSAntilles-Guyaneseptembre2005\
EXERCICE 1 5points
1
Lasuite(u )estdéfinieparu =1et∀n∈N, u = u +n−1.n 0 n+1 n
2
1. a. Démontrerquepourtoutn>3, u >0.n
b. Endéduirequepourtoutn>4, u >n−2.n
c. Endéduirelalimitedelasuite(u ).n
2. Ondéfinitiasuite(v )par v =4u −8n+24.n n n
a. Démontrerque v estunesuitegéométriquedécroissantedontondon-( )n
neralaraisonetlepremierterme.
? ?n1
b. Démontrerque∀n∈N, u =7 +2n−6.n
2
c. Vérifier que∀n∈N, u = x +y où (x ) est une suite géométrique etn n n n? ?
y une suite arithmétique dont onprécisera pour chacune le premiern
termeetlaraison.
nX
d. Endéduirel’expressiondeS = u enfonctionden.n k
k=0
EXERCICE 2 4points
Soit f lafonctiondéfiniesur]0 ;+∞[par
2lnx
f(x)= .
2x +x
lnx lnx
1. Montrerquepourtoutx>1, 6 f(x)6 .
2x x
Z Z4 4lnx lnx
2. a. Calculer I= dx et J= dx (on pourra utiliser une intégra-
2x x2 2
tionparpartiespourcettedernière).
Z4
b. EndéduireunencadrementdeK= f(x)dx.
2
3. Lafigureci-dessousreprésentelacourbereprésentativede f (unitésgraphiques:
enabscisse1cmpour1unité,enordonnées4cmpour1unité).Onconsidère
l’ensembledespointsM(x ; y)telsque:
?
2 6 x 6 4
etonnoteA sonaire.
0 6 y 6 f(x)
y
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
x
-2 -1 -0,1 1 2 3 4
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5BaccalauréatS:l’intégrale2006 A.P.M.E.P.
2Àl’aidedel’encadrementtrouvéau2b,donnerunencadrementdeA encm .
EXERCICE 3 4points
? ?→− →−
SoitP leplancomplexerapportéaurepère O, u , v (unitégraphique:4cm).Soit
Alepointd’affixe1.Onnote f l’applicationdeP privédeAdansP qui,àtoutpoint
′ ′M d’affixez,associelepoint M d’affixez telleque
1′z = .
z−1
p
1. a. Soit B le point d’affixeb=4+i 3. Déterminer la forme algébriqueet la
′ ′formeexponentielledel’affixeb deB .
b. Déterminerlesaffixesdespointsayantpourimagepar f leursymétrique
parrapportàO.
? ? ? ?
′ ′? ?2. a. Exprimer z etarg z enfonctionde|z−1|etarg(z−1).
b. SoitC lecercledecentreAetderayonr.OnsupposequeM estunpoint? ?
′? ?deC.Déterminer z .
′ ′Endéduireque M appartientàuncercleC dontonpréciseralecentre
etlerayon.
1
c. Placerunpoint M quelconque sur lecercledecentreAetderayon et
2
′construiresonimageM .(Onlaisseralestraitsdeconstruction,)
EXERCICE 4 4points
Onmodéliseletempsd’attenteentredeuxclientsàunguichetcommeunevariable
aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ. La probabilité pour un
clientd’attendremoinsdet minestdéfiniepar:
Zt
−λxp(X6t)= λe dx.
0
Letempsmoyend’attenteestdonnépar:
Zt
−λxlim λxe dx.
t→+∞ 0
Zt
−λx1. a. Àl’aided’uneintégrationparparties,calculer λxe dx enfonction
0
det.
1
b. Endéduirequeletempsmoyenest .
λ
2. Letempsmoyend’attenteétantde5 min,quelleestlaprobabilitéd’attendre
plusde10min?plusde5min?
3. Quelle est la probabilité d’attendre encore au moins 5 min, sachant qu’on a
déjàattendu10min?Commentexpliquez-vouscerésultat?
EXERCICE 5 4points
Pourcetexercice,vousrecopierezpourchaquequestion,votreréponse.
Chaqueréponsejusterapporte1point.Uneabsencederéponsen’estpassanctionnée.
Ilseraretiré0,5pointparréponsefausse.
Lanotefinaledel’exercicenepourrapasêtreinférieureàzéro.
? ?→− →− →−
Soit O, ı ,  , k unrepèreorthonormal.
Antilles-Guyane 4 septembre2005BaccalauréatS:l’intégrale2006 A.P.M.E.P.
1. La droitepassant par A(1; 2 ; −4) et B(−3 ; 4 ; 1) et la droitereprésentée par
x = −11−4t
y = 8+2t t∈R sont:

z = 11+5t
sécantes strictementparallèles confondues noncoplanaires
2. Soient le planP d’équation 2x+3y−z+4=0 et la droiteD représentée par
x = t
y = t t∈R

z = 8+t
P etD sontsécants. P etD sontstrictementparallèles.
D estinclusedansP. Aucunedecespossibilitésn’estvraie.
3. LadistancedupointA(1; 2;−4)aupland’équation2x+3y−z+4=0est:
p
p8 14 8
16 8 14
7 7
2 2 24. SoientlepointB(−3; 4; 1)etlasphèreS d’équation x +y +z =16;
Bestàl’intérieurdeS Bestàl’extérieurdeS
BestsurS Onnesaitpas.
Antilles-Guyane 5 septembre2005Durée:4heures
[BaccalauréatSMétropoleseptembre2005\
EXERCICE 1 7points
Communàtouslescandidats
PartieA
Lafonction f estdéfiniesurl’intervalle[0;+∞[par
1− x2f(x)=(20x+10)e .
On noteC la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal? ?→− →−
O, ı ,  (unitégraphique1cm).
1. Étudierlalimitedelafonction f en+∞.
2. Étudierlesvariationsdelafonction f etdressersontableaudevariations.
3. Établir que l’équation f(x)=10 admet une unique solution strictement po-
sitive α dans l’intervalle ]0 ; +∞[. Donner une valeur décimale approchée à
−310 prèsdeα.
4. TracerlacourbeC.
Z3
5. Calculerl’intégraleI= f(x)dx.
0
PartieB
Onnote y(t)lavaleur,endegrésCelsius,delatempératured’uneréactionchimique
àl’instant t, t étantexpriméenheures.Lavaleurinitiale,àl’instant t=0,est
y(0)=10.
Onadmetquelafonctionqui,àtoutréelt appartenantàl’intervalle[0;+∞[associe
1 1′ − t
2y(t),estsolutiondel’équationdifférentielle(E): y + y=20e .
2
1. Vérifier que la fonction f étudiée dans la partieA est solution de l’équation
différentielle(E)surl’intervalle[0;+∞[.
2. On se propose de démontrer que cette fonction f est l’unique solution de
l’équation différentielle (E), définie sur l’intervalle [0 ; +∞[, qui prend la va-
leur10àl’instant0.
a. Onnote g unesolutionquelconquedel’équationdifférentielle(E),défi-
niesur [0; +∞[vérifiant g(0)=10.Démontrer quelafonction g−f est
solution,surl’intervalle[0;+∞[,del’équationdifférentielle:
1′ ′(E ) y + y=0.
2
′b. Résoudrel’équationdifférentielIe(E ).
c. Conclure.
3. Auboutdecombiendetempslatempératuredecetteréactionchimiqueredes-
cent-elleàsavaleurinitiale?Lerésultatseraarrondiàlaminute.
4. LavaleurθendegrésCelsiusdelatempératuremoyenneàcetteréactionchi-
mique durantlestroispremièresheuresestlavaleur moyennedelafonction
f surl’intervalle[0;3].
Calculerlavaleurexactedeθ,puisdonnerlavaleurapprochéedécimaledeθ
arrondieaudegré.BaccalauréatS:l’intégrale2006 A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpaschoisil’enseignementdespécialité
Pourchaquequestion,uneseuledesquatreréponsesproposéesestexacte.Lecandidat
indiquerasurlacopielenumérodelaquestionetlalettrecorrespondantàlaréponse
choisie.
Chaqueréponseexacterapporte1point,chaqueréponsefausseenlève0,5point.Une
absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à
zéro.
Aucunejustificationn’estdemandée.
p π
1. Soitz lenombrecomplexedemodule 2etd’argument .Onaalors:
3
p p
14 14A : z =−128 3−128i. C : z =−64+64i 3.p
14 14B : z =64−64i. D : z =−128+128i 3
2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le
pointSd’affixe3etlepointTd’affixe4i.Soit(E)l’ensembledespointsM d’af-
fixez telsque|z−3|=|3−4i|.
A:(E)estlamédiatricedusegment[ST];
B:(E)estladroite(ST);
C:(E)estlecercledecentreΩd’affixe3−4i,etderayon3;
D:(E)estlecercledecentreSetderayon5.
3. On considère un hexagone régulier ABCDEF, dontles côtés sont delongueur
−→ −→
1.LeproduitscalaireAC·CF estégalà:
p p 3
A : 3 B : −3 C : − 3 D; .
2
p
2x −2x
4. Une fonction g est définiesur l’intervalle ]−∞; 0]par g(x)= ;soit
x−3
Γsacourbereprésentativedansunrepèreduplan.
A:Γadmetuneasymptoted’équation y=−1.
B:Γn’admetpasd’asymptote.
C:Γadmetuneasy