DURÉE DE L'ÉPREUVE heures

Description

Niveau: Secondaire, Lycée

• redaction

BACCALAURÉAT BLANC 4 février 2012 MATHÉMATIQUES Série : S DURÉE DE L'ÉPREUVE : 4 heures Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5 La page 5 comporte des annexes et est à rendre avec la copie L'utilisation d'une calculatrice est autorisée Le candidat doit traiter les exercices 1, 2, 3, ainsi que l'exercice 4 correspondant à sa spécialité. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

• points d'affixes respectives


• blanc page


• solution de l'équation différentielle


• a4 d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives


• repère ortho

Sujets

• Terminale
• Mathématiques
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• bac blanc

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Date de parution: 01 février 2012
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT BLANC
4 février 2012
MATHÉMATIQUES
Série : S
DURÉE DE L’ÉPREUVE : 4 heures
Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5
La page 5 comporte des annexes et est à rendre avec la copie
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée
Le candidat doit traiter les exercices 1, 2, 3, ainsi que l’exercice 4 correspondant à sa spécialité.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.BaccalauréatS
TerminaleS:bacblanc
(Durée : quatre heures)
Les calculatrices sont autorisées.
I 5points
Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.
Partie A :
0On considère l’équation différentielle y ?y?x?2
1. Montrer qu’elle admet une unique fonction v affine solution sur R. La déterminer.
02. Montrer que si g est solution de l’équation différentielle y ? y?x?2, alors la fonction g?v est
0solution de l’équation différentielle y ?y.
03. En déduire que toutes les solutions de l’équation différentielle y ?y?x?2 sont les fonctions
xf (x)?ke ?x?1 (k réel quelconque)k
4. Déterminer la solution f dont la courbe représentative passe par l’origine du repère.
5. Montrer que la courbe représentative de f dans un repère admet une asymptote oblique?
Quelle est la position de la courbe par rapport à cette asymptote?
³ ´!? !?
6. Dans un repère orthonormé O ; i ; j (unités : 1 cm), construire l’asymptote oblique, la tangente
en O puis la courbe représentative de f.
Partie B : Taux d’alcoolémie
Lorsqu’une personne absorbe à jeun une certaine quantité d’alcool, on note f (t) le taux d’alcoolémie (en
grammes par litre de sang) à l’instant t (en heure) de son organisme.
0 ?tOnconsidère que f estsolution del’équation différentielle : f (t)?ae ?f (t); f (0)?0(a estune constante
positive qui dépend à la fois de la personne et de la quantité absorbée)
t 01. On pose g(t)?e f (t). Calculer g (t) et en déduire que g est une fonction affine.
2. Exprimer f (t) en fonction de t et de a.
3. On pose a?5
a. Déterminer le taux d’alcoolémie maximal et le temps au bout duquel ce taux est atteint.
b. Auboutdecombiendetempslapersonnepeut-elle prendre levolant sansenfreindre lalégislation
?1(le taux maximal autorisé est 0,5 g.l )? On donnera le résultat en heures minutes.
LycéeMauriceGenevoix-Bac blanc Page2/5 4février2012 -Durée: 4heuresBaccalauréatS
II 5points 1. Étude de propriétés de la fonction f
a. Étudier le sens de variation de la fonctionLe plan complexe est rapporté au repère ortho-
¡ ¢!? !? f sur l’intervalle [0 ; ?1[.normal direct O ; u ; v . A, B, C désignent lesp p
points d’affixes respectives a??2 3, b? 3?3i et b. Résoudre dans l’intervalle [0 ; ?1[[
c?2i. l’équation f (x)?x.
On note α la solution.1. a. Écrire b sous forme exponentielle.
b. Les points A et C sont représentés sur la c. Montrer que si x appartient à l’intervalle
figure jointe en annexe 1. [0 ; α], alors f(x) appartient à l’intervalle
Construire à la règle et au compas le [0 ; α].
point B sur ce dessin (laisser les traces De même, montrer que si x appartient à
de construction apparentes). l’intervalle [α,?1[ alors f (x) appartient
2. OndésigneparElebarycentredusystème{(A; à l’intervalle [α ; ?1[.
1); (C; 3)} et par F le barycentre du système 2. Étude de la suite (u ) pour u ?0n 0
{(A; 2); (B; 1)}.
Dans cette question, on considère la suite (u )n
a. Établir que l’affixe e du point E est égale définie par u ? 0 et pour tout entier naturelp 0
3 3 n :à ? ? i.
2 2
b. Déterminer l’affixe f du point F. 5
u ? f u ?6? .( )n?1 ne?c u ?1n3. a. Démontrer que le quotient peut
e?b
a. Sur le graphique représenté dans l’annexes’écrire ki où k est un nombre réel à dé-
2, sont représentées les courbes d’équa-terminer.
tions y?x et y? f (x).En déduire que, dans le triangle ABC, le
point E est le pied de la hauteur issue de Placer le point A de coordonnées0
B. Placer le point E sur le dessin. (u ; 0), et, en utilisant ces courbes,0
construire à partir de A les points0b. Démontrer que le point F possède une
A , A , A et A d’ordonnée nulle et1 2 3 4propriété analogue. Placer F sur le des-
d’abscisses respectives u , u , u et u .1 2 3 4sin.
Quelles conjectures peut-on émettre4. On désigne par H le barycentre du système
quant au sens de variation et à la conver-{(A; 2); (B; 1); (C; 6)}. Démontrer que le
gence de la suite (u )?npoint H est le point d’intersection des droites
b. Démontrer, par récurrence, que, pour(BE) et (CF).
Qu’en déduit-on pour le point H? tout entier naturel n, 0?u ?u ?α.n n?1
c. En déduire que la suite (u ) est conver-n
III 5points gente et déterminer sa limite.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; ?1[ 3. Étude des suites (u ) selon les valeurs du réeln
par : positif ou nul u0
Dans cette question, toute trace d’argumenta-5
f (x)?6? . tion, même incomplète, ou d’initiative, mêmex?1
non fructueuse, sera prise en compte dansLe but de cet exercice est d’étudier des suites
l’évaluation.
(u ) définies par un premier terme positif ou nul un 0
et vérifiant pour tout entier naturel n : Que peut-on dire du sens de variation et de la
convergence de la suite (u ) suivant les valeursn
u ? f u .( )n?1 n du réel positif ou nul u ?0
LycéeMauriceGenevoix-Bac blanc Page3/5 4février2012 -Durée: 4heuresBaccalauréatS
IV Pourlesnon-spécialistes(5points) PARTIE B
On note 0, 1, 2, ..., 9,α, β, les chiffres de l’écri-
Le plan complexe est rapporté au repère ortho-
¡ ¢ ture d’un nombre en base 12. Par exemple :!? !?normal direct O ; u ; v (unité : 6 cm)
5π
On considère la suite arithmétique (a ) de raisonn
126 2 2π βα7 ?β?12 ?α?12?7?11?12 ?10?12?7?1711
et de premier terme a ? .0
2
Pour tout entier n, on appelle M le point du cerclen en base 10³ ´???!!?C de centre 0 et de rayon 1 tel que u ; OM ?a .n n
1. a. Soit N le nombre s’écrivant en base 12 :1
1. Placer les points M , M , M ,..., M .O 1 2 11
12
N ?β1α2. On appelle z l’affixe de M .n n 1¡ ¢
π 5nπi ?
2 6Montrer que, pour tout n, z ?en
Déterminer l’écriture de N en base 10.13. a. Montrer les propriétés suivantes pour
b. Soit N le nombre s’écrivant en base 10 :tout n : 2
? les points M et M sont diamétra-n n?6 3 2N ?1131?1?10 ?1?10 ?3?10?12lement opposés
? les points M et M sont confon-n n?12 Déterminer l’écriture de N en base 12.2
dus.
Dans toute la suite, un entier naturel Nb. Montrer que, pour tout n, on a l’égalité :
s’écrira de manière générale en base 12 :
2iπ?
3z ?e z .n?4 n
12N?a ???a an 1 0En déduire que la distance M M vautn n?4p
3, puis que le triangle M M Mn n?4 n?8 2. a. Démontrer que N ? a (3). En dé-0
est équilatéral. duire un critère de divisibilité par 3 d’un
c. De même, calculer les distances M Mn n?1 nombre écrit en base 12.
pour tout n positif ou nul et M Mn?1 n?1 b. À l’aide de son écriture en base 12, déter-
pour tout n supérieur ou égal à 1. miner si N est divisible par 3. Confirmer2
avec son écriture en base 10.
V ExercicedeSpécialité5points
3. a. Démontrer que N ? a ????? a ?n 1
Les deux parties sont indépendantes a (11). En déduire un critère de divi-0
PARTIE A : Question de cours sibilité par 11 d’un nombre écrit en base
12.1. Pré-requis : tout nombre entier n strictement
supérieur à 1 admet au moins un diviseur pre- b. À l’aide de son écriture en base 12, déter-
mier. minersi N estdivisible par 11. Confirmer1
avec son écriture en base 10.Démontrer que tout nombre entier n stricte-
12ment supérieur à 1 est premier ou peut se dé- 4. Un nombre N s’écrit x4y . Déterminer les va-
composer en produit de facteurs premiers (on leursde x etde y pourlesquelles N estdivisible
nedemandepasdedémontrerl’unicitédecette par 33.
décomposition). (On admettra la propriété suivante : si p et q
2. Donner la décomposition en produit de fac- sont premiers entre eux et si p et q divisent
teurs premiers de 629. un entier a, alors pq divise a)
LycéeMauriceGenevoix-Bac blanc Page4/5 4février2012 -Durée: 4heuresBaccalauréatS
NOM :
ANNEXES
Annexe 1 (exercice II)
3
2 C
1
A 0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5O
-1
-2
-3
-4
Annexe 2 (Exercice III, question 2. a.)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
LycéeMauriceGenevoix-Bac blanc Page5/5 4février2012 -Durée: 4heures
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