EXAMEN ANNEE

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
EXAMEN ANNEE 2011-2012 Licence Économie 1ère année 1re SESSION 2e SEMESTRE Matière : Mathématiques appliquées Durée : 2H – Éléments de corrections Seules les calculatrices non-programmables et non graphiques sont autorisées. Exercice I (3 points, 15 min) 1) On a f .x/ D 3x D ex n3. D'où f 0.x/ D n 3 ex n3 D n 3 3x . 2) On a e.f; x/ D x f 0.x/ f .x/ D x n 3 3x 3x D x n 3 3) Lorsque x D 1=2, e.f; 1=2/ 0:549 < 1. La fonction est donc inélastique en x D 1=2. La variation relative def est inférieure à celle dex.Par exemple, lorsquex varie de 1 % autour de 1=2, la variation (relative) de f est inférieure à 1 % (est de l'ordre de 0.55 %). Lorsque x D 2, e.f; 2/ 2:197 > 1. La fonction est donc élastique en x D 2. La variation relative de f est supérieure à celle de x. Par exemple, lorsque x varie de 1 % autour de 2, la variation (relative) de f est supérieure à 1 % (est de l'ordre de 2.2 %).

• moyenne œ0


• précédent développement limité


• conditions de kuhn-tucker


• calcul précédent


• pp pp


• jjj jjj

Sujets

• Première
• Mathématiques
• Conditions de Kuhn-Tucker

Informations

• Publié par: davaj
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Français

Extrait

Dure : 2H – Èlments de corrections

re Licence Èconomie 1anne

re 1 SESSION

e 2 SEMESTRE

Seules les calculatrices non-programmables et non graphiques sont autorisÉes.

Exercice I(3 points, 15 min)

Matire : Mathmatiques appliques

EXAMEN ANNEE 2011-2012

x x`n30x `n3 x 1) On af .x/D3DD’oÙe .f .x/D`n3eD`n3 3. 2) On a 0x f .x/`n3 3 e.f; x/DxDxDx `n3 x f .x/3 3) LorsquexD1=2, e.f; 1=2/0:549 < 1. La fonction est donc inÉlastique enxD1=2. La variation relative defest infÉrieure À celle dex. Par exemple, lorsquexvarie de 1 % autour de1=2, la variation (relative) defest infÉrieure À 1 % (est de l’ordre de 0.55 %). LorsquexD2, e.f; 2/2:197 > 1. La fonction est donc Élastique enxD2. La variation relative def est supÉrieure À celle dex. Par exemple, lorsquexvarie de 1 % autour de2, la variation (relative) defest supÉrieure À 1 % (est de l’ordre de 2.2 %).

2 1) La fonctionf .x; y/est la somme de deux fonctions concaves d’une seule variable (x!2xety! y). Elle est donc concave. 2 2) Le lagrangien associÉ À.P /estL.x; y;  1 ;  2 /D2xyC 1 .x/C 2 .xy1/. Les conditions de Kuhn-Tucker associÉes À.P /sont ( (( ( 0 D0D2C. x/D0 L 2 1x 1  1 60 x>0 .1/ .2/.3/ .4/ 0 LD0D 2y 2 y  2 .xy1/D0  2 60 xy61

Exercice II(6 points, 40 min) On considÈre le problÈme de maximisation suivant : ( 2 maximiserf .x; y/D2xy .P / sous les contraintesx>0etxy61.

3) On Étudie successivement les conditions prÉcÉdentes selon les valeurs de 1 et 2 (4 cas). a)  1 D 2 D0. La premiÈre Équation de.1/donne0D2. Ce cas est donc impossible. b)  1 < 0et 2 < 0. Les Équations.2/donnentxD0etyD 1. En remplaÇant dans la seconde Équation de.1/on trouve 2 D2, ce qui est impossible. c)  1 < 0et 2 D0. La premiÈre Équation de.1/donne 1 D2, ce qui est impossible. d)  1 D0et 2 < 0. La premiÈre Équation de.1/donne 2 D 2. En remplaÇant dans la seconde, on trouveyD1. La premiÈre Équation de.2/est automatiquement vÉrifiÉ (car 1 D0) et la seconde donne xDyC1D2. Les Équations de.3/et.4/sont bien aussi vÉrifiÉes. On obtient donc un unique point critique