FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES EXAMEN ANNEE 2009-2010 1ère session 3ème semestre Licence Economie 2ème année Matière : Mathématiques Appliquées : Éléments de correction Exercice I (25 min, 4 points) Soit .un/n la suite définie par u0 D 4 unC1 D 2un un C 4 8n 2 N 1) u0 D 4 u1 D 2u0 u0 C 4 D 1 u2 D 2u1 u1 C 4 D 2 5 2) On voit que les deux premiers termes sont positifs. De plus, un > 0 H) unC1 D 2un un C 4 D C C > 0 3) On a unC1 un D 2un unC4 un D 2 un C 4 6 2 4 < 1 Donc la suite .un/n est décroissante. 4) La suite .un/n est décroissante et minorée (car positive), elle est donc convergente. 5) On remarque que unC1 D f .un/ où f .x/ D 2x=.xC4/ est une fonction continue. La limite de la suite .un/n vérifie donc D f ./ ” D 2 C 4 ” 2 C 2 D 0 ” .C 2/ D 0 ” D 0 ou 2 Comme la suite est à terme positif, on a nécessairement D 0.

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• convergence de la première intégrale

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• Langue: Français

Extrait

re 1 session

FACULTE DE DROIT ET DES SCIENCES ECONOMIQUES DE LIMOGES

EXAMEN ANNEE 2009-2010

me Licence Economie 2anne

Matire : Mathmatiques Appliques : Èlments de correction

me 3 semestre

Exercice I(25 min, 4 points) Soit.u n / n la suite dÉfinie par 2u n u 0 D4 u nC1 D 8n2N u n C4 1) 2u 0 2u 1 2 u 0 D4 u 1 D D1 u 2 D D u 0 C4 u 1 C4 5 2) On voit que les deux premiers termes sont positifs. De plus, 2u n C u n >0H)u nC1 D D>0 u n C4C 3) On a 2u n 2 u nC1 u n C4 2 D D6< 1 u n u n u n C4 4 Donc la suite.u n / n est dÉcroissante. 4) La suite.u n / n est dÉcroissante et minorÉe (car positive), elle est donc convergente. 5) On remarque queu nC1 Df .u n /oÙf .x/D2x=.xC4/est une fonction continue. La limite`de la suite.u n / n vÉrifie donc 2` 2 `Df .`/”`D ”`C2`D0”`.`C2/D0”`D0ou2 `C4 Comme la suite est À terme positif, on a nÉcessairement`D0. 6) Lorsqueu 0 D0, on au n D0pour toutn. La suite est donc stationnaire. Exercice II(20 min, 3 points) On considÈre la sÉrie de terme gÉnÉral 1  u n D 8n2N n.nC1/  1) On remarque queu n > 0pour toutn2N. De plus, 1 11 u n D6D 2 n.nC1/ nn n 1 Comme la sÉrie.† 2 /converge (sÉrie de Riemann avec˛D2 > 1), on en dÉduit que la sÉrie.†u n /converge. n 2) On a 1 1.nC1/n 1  DD Du n n nC1 n.nC1/ n.nC1/