I INTÉRÊT DU CALCUL LITTÉRAL En mathématiques il arrive fréquemment que l'on ait besoin de faire des calculs sur une expression comportant des lettres On parle alors de calcul littéral

Véronique Et Thibaud Fontanet

Description

Niveau: Secondaire, Collège, Cinquième

• redaction

CALCUL LITTÉRAL I) INTÉRÊT DU CALCUL LITTÉRAL En mathématiques, il arrive fréquemment que l'on ait besoin de faire des calculs sur une expression comportant des lettres. On parle alors de « calcul littéral ». Exemple : Un chocolatier veut faire des paquets de 200 g de chocolat contenant deux fois plus de chocolats noirs que de chocolats au lait. Un chocolat noir pèse 6,75 g alors qu'un chocolat au lait pèse 6,5 g. Combien de chocolats noirs et au laits doit-il mettre dans ses paquets ? Rédaction : Appelons x le nombre de chocolats au lait dans un paquet : ? Le poids total des chocolats au lait est alors : x?6,5 ? Le nombre de chocolats noirs est : 2?x ?Le poids total des chocolats noirs est : 2?x?6,75 ?Additionnons les poids totaux des chocolats noirs et au lait : 2?x?6,75+x?6,5=200 x?(2?6,75)+x?6,5=200 x?13,5+x?6,5=200 x?(13,5+6,5)=200 x?20=200 x=10 Dans chaque paquet, le chocolatier doit donc mettre 10 chocolats au lait et 20 chocolats noirs. Calcul littéral p37: 37, 38, 39, 40

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Sujets

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• Chocolat noir
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• Langue: Français

Extrait

CALCUL LITTÉRAL

I) INTÉRÊT DU CALCUL LITTÉRAL En mathématiques, il arrive fréquemment que l'on ait besoin de faire des calculs sur une expression comportant des lettres. On parle alors de « calcul littéral ».

Exemple : Un chocolatier veut faire des paquets de 200 g de chocolat contenant deux fois plus de chocolats noirs que de chocolats au lait. Un chocolat noir pèse 6,75 g alors qu'un chocolat au lait pèse 6,5 g. Combien de chocolats noirs et au laits doit-il mettre dans ses paquets ?

Rédaction : Appelonsxle nombre de chocolats au lait dans un paquet : ● Le poids total des chocolats au lait est alors :x×6,5 ● Le nombre de chocolats noirs est : 2×x ● Le poids total des chocolats noirs est : 2×x×6,75 ● Additionnons les poids totaux des chocolats noirs et au lait : 2×x×6,75+x×6,5=200 x×(2×6,75)+x×6,5=200 x×13,5+x×6,5=200 Calcul littéral x×(13,5+6,5)=200 x×20=200 x=10

Dans chaque paquet, le chocolatier doit donc mettre 10 chocolats au lait et 20 chocolats noirs.

p37: 37, 38, 39, 40

II) DÉVELOPPER – FACTORISER

1) Produit ou somme ?

On dit d'une expression qu'elle est un produit, une somme ou une différence, selon le dernier calcul à effectuer :

Ex: A= 2×3 + 5 A← somme+ 5 = 6 A= 11

B= (8 – 2)×3 B× 3 = 6 ← produit B= 18

2) Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ou la soustraction

a) Exemples : Dans toutes les situations ci-dessous, écrivez le calcul demandé de deux manières différentes : une fois sans parenthèses et une fois avec parenthèses.

● Une équipe de foot achète pour chacun des 15 joueurs une paire de chaussures à 40 euros et un maillot à 10 euros. Combien vont-il dépenser ?

A= 15×40 + 15×10

A= 15×(40 + 10)

● Un magasin de vêtements fait une réduction de 1,50 euros sur tous ses articles. Éric achète 5 pantalons qui coûtaient 12 euros chacun avant la réduction. Combien va-t-il payer en tout ?

B= 5×12 – 5×1,50

B= 5×(12 – 1,50)

● Écrire en fonction dek,aetbl'aire de la surface grisée ci-dessous a b C=k×a+k×b C=k×(a+b)

k

● Écrire en fonction dek,aetbl'aire de la surface grisée ci-dessous a D=k×a–k×b D=k×(a–b)

k

b

b) Cas général :

Propriété : k,aetbétant 3 nombres quelconques : k×a+k×b=k× (a+b) Somme ou différence produit k×a–k×b=k× (a–b)

Ex: 2 × (x– 3) = 2 ×x– 2 × 3 3 ×a+a×b=a× 3 +a×b=a× (3 +b)

p35: 1, 2, 4, 6, 7 p38: 48 p40: 71 oral p38: 47

3) Factoriser une expression Définition : Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en produit.

Ex: A= 5 ×–×x A=× 5 –×x A=× (5 –x)

B= 12 ×x+x×a B=x× 12 +x× a B=x× (12 +a)

C= 2 ×x×x–x+ 3 ×x C=x× 2 ×x–x× 1 +x× 3 C=x× (2 ×x– 1 + 3)

4) Développer une expression Définition : Développer, c'est transformer un produit en somme ou en différence.

Ex: A= 2 × (a+b+c) A= 2 ×a+ 2 ×b+ 2 ×c

B=x× (a– 1) B=x×a–x× 1 B=x×a–x

p35: 9, 10, 11, 12 p36: 27, 28, 29 p38: 49

5) Développer et Réduire une expression

Ex : A= 3 × (x+ 5) + 2 × (x– 1) A= 3 ×x+ 3 × 5 + 2 ×x– 2 × 1 A= 3 ×x+ 15 + 2 ×x– 2 A= 5 ×x+ 13

On développe l'expression

On laréduit

Remarque :Réduire revient souvent à faire une factorisation implicite : 3 ×x+ 2 ×x= (3 + 2) ×x= 5 ×x

p36: 31 p38: 52, 54 oral p36: 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23

III) SIMPLIFICATIONS D'ÉCRITURES 1) Le signe multiplié : 3 ×a= a + a + a Il y a ici troisa, au lieu d'écrire 3 ×a, on écrira donc le plus souvent 3 a

Bilan : Quand le si ne × est suivi d'une lettre ou une parenthèse, on peut se dispenser de l'écrire.

3 ×a s'écrit 3a a× 3 s'écrit 3a a×b s'écritab 4 × (a+ 3) s'écrit 4 (a+ 3)

2) Carré, cube d'un nombre D'après ce qui précède,a×aa a. devrait s'écrire 2 En fait, on écriraaet on dira "aau carré" 3 De mêmea×a×as'écriraaet on dira "aau cube"

p37: 42 p38: 50, 51 p40: 74, 75, 76, 77

IV) ÉGALITÉS DANS DES EXPRESSIONS LITTÉRALES

1) Les deux emplois du signe égal Attention, dans une expression littérale, le signe égal peut être utilisé dans deux cas bien distincts :

a) Égalités toujours vraies Ex :8x+ 2x= 10x Ici, les deux membres de l'égalité sont toujours égaux quelle que soit la valeur donnée àx.

b) Équations Ex :8x= 2x+ 3 Ici on a encore utilisé le signe égal alors que l'égalité n'est vraie que pour x= 0,5 et fausse pour les autres valeurs dex! On dit alors que 8x= 2x+ 3 est uneéquationqui a poursolution0,5.

2) Tester si une égalité est vraie Dans le cas d'une équation dont on ne sait pas trouver les solutions directement, on peut « tester » différentes valeurs dex.

Ex 1 :Tester l'égalité 4 (2x+ 1) = 12 pourx= 1 puisx= 2. six= 1 4 (2x+ 1) = 4 (2 × 1 + 1)= 4 (2 + 1)= 4 × 3= 12 L'égalité est donc vérifiée pourx= 1

six= 2 4 (2x+ 1) = 4 (2 × 2 + 1) = 4 (4 + 1) = 4 × 5= 20 L'égalité n'est donc pas vérifiée pourx= 2

Ex 2 :Tester si l'égalité 4x= 2 (x+ 2) est vraie pourx= 1 puisx= 2. six= 1 D'une part : 4x =4 × 1 = 4 D'autre part : 2 (x+ 2) = 2 (1 + 2) = 2 × 3 = 6 L'égalité n'est donc pas vraie pourx= 1

six= 2 D'une part : 4x =4 × 2 = 8 D'autre part : 2 (x+ 2) = 2 (2 + 2) = 2 × 4 = 8 L'égalité est donc vraie pourx= 2

p38: 55, 56 p41: 81, 82, 83, 84 5-calcul-litteral-tableur.odt