POUR LES ÉLÈVES NE SUIVANT PAS L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Description

Niveau: Secondaire, Lycée

• redaction

BACCALAURÉAT BLANC mars 2012 MATHÉMATIQUES Série : S POUR LES ÉLÈVES NE SUIVANT PAS L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ DURÉE DE L'ÉPREUVE : 4 heures Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

• ?2 de ?


• repère orthonormal


• blanc page


• milieux respectifs des segments


• logiciel de géométrie dynamique


• ex ?


• valeurstrictement positive de u0


• figure donnée en annexe


• affixe


• af du triangle afg

Sujets

• Redaction
• Base orthonormale
• Affixe

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Publié le: 01 mars 2012
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT BLANC

mars 2012

MATHÉMATIQUES

Série :S

POUR LES ÉLÈVES NE SUIVANT PAS L’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

DURÉE DE L’ÉPREUVE :4 heures

Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5 L’utilisation d’une calculatrice est autorisée

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Baccalauréat S

I (5points) II(4 points) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal Partie A ¡ ¢ −→−→ direct O;u;v , on considère le point A d’affixe 2 et le cercle C On considère la fonction de centre O passant par A. g définie sur [0 ;+∞[ par Dans tout l’exercice on note α le nombre complexe x α=1+ i 3 et α le nombre complexe conjugué du nombre g(x)= e −x−1. complexe α . 1.Étudier les variations de la fonction g . 2 1. a.Démontrer que α−4α=2α−8 . 2.Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de b.Démontrer que les points B et C d’affixes res x . pectives α et α appartiennent au cercle C . x 3.En déduire que pour tout x de [0 ;+∞[, e −x>0 . i θ 2.Soit D un point du cercle C d’affixe 2 e où θ est un nombre réel de l’intervalle ]−π;π] . Partie B a.Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à On considère la fonction f ; 1] pardéfinie sur [0 rendre avec la copie) le point E image du point π D par la rotation r de centre O et d’angle. x e −1 3 f(x)=. x i θ e −x b.Justifier que le point E a pour affixe z=α e . E La courbe (C) représentative de la fonction f dans le 3.Soient F et G les milieux respectifs des segments plan muni d’un repère orthonormal est donnée en annexe. [BD] et [CE]. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie a.Justifier que le point F a pour affixe à la fin de l’épreuve. α i θ z= + e . On admet que f ; 1].est strictement croissante sur [0 F 2 b.On admet que le point G a pour affixe 1.Montrer que pour tout x de [0; 1], f(x)∈[0 ; 1] . i θ α e +α 2.Soit (D) la droite d’équation y=x . z= . G 2 a.Montrer que pour tout x de [0; 1], z−2α G Démontrer que = . On pourra utiliser z−2 2 F (1−x)g(x) la question 1. a. f(x)−x=. x e −x En déduire que le triangle AFG est équilatéral. 4.Dans cette question, toute trace de recherche, b.Étudier la position relative de la droite (D) et même incomplète, ou d’initiative, même non fruc be (C) 1].[0 ; de la coursur tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Partie C À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu’il existe une position du point D, dé On considère la suite ( u n ) définie par : fini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale. ( 2 1 On admet que AF =4−3 cosθ+3 sinθ . u 0 = 2 On considère la fonction f définie sur l’intervalle p u n+1 =f ( u n ) , pour tout entier naturel n. [−π;+π] par f(x)=4−3 cosx+3 sinx . Le tableau cidessous donne les variations de la 1.Construire sur l’axe des abscisses les quatre pre fonction f sur l’intervalle [−π;+π] . Compléter ce miers termes de la suite en laissant apparents les tableau de variations. Permetil de valider la conjec traits de construction. ture ?Justifier. 2.Montrer que pour tout entier naturel n , π5π x−π−π 1 Éu n Éu n+1 É1. ❅ ✒❅ 2 f ❅ ❅ ❅❘ ❘❅ 3.En déduire que la suite ( u n ) est convergente et dé terminer sa limite.

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mars 2012  Durée : 4 heures

Baccalauréat S

III (6points) Partie A Soit u la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par

2 u(x)=x−2+lnx. 1.Étudier les variations de u sur ]0 ;+∞[ et préciser ses limites en 0 et en +∞ . 2. a.Montrer que l’équation u(x)=0 admet une solution unique sur ]0 ;+∞[ . On note α cette solution. −2 b.À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10 de α . 3.Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x . 2 4.Montrer l’égalité : lnα=2−α .

Partie B On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ;+∞[ par

2 2 f(x)=x+(2−lnx) . ′ On note f la fonction dérivée de f sur ]0 ;+∞[ . ′ 1.Exprimer, pour tout x de ]0 ;+∞[,f(x) en fonction de u(x) . 2.En déduire les variations de f sur ]0 ;+∞[ .

Partie C ³ ´ −→−→ Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O;i;j , on note : •Γ la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien); • A le point de coordonnées (0 ; 2) ; •M le point de Γ d’abscisse x appartenant à ]0 ;+∞[ . 1.Montrer que la distance A M est donnée par A M=f(x) . p 2.Soit g la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par g(x)=f(x . a.Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ]0 ;+∞[ . b.Montrer que la distance A M est minimale en un point de Γ , noté P, dont on précisera les coordonnées. p 2 c.Montrer que AP =α1+α . 3.Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. La droite (AP) estelle perpendiculaire à la tangente à Γ en P?

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Baccalauréat S

IV Exercice pour les élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité (5 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Questions Réponses 2 1 x− 2 (a)1 1.L’équation e=e a pour solutions 1 (b) 2 (c)1 1 1 (d) − et 2 2 (e)1 et 1 µ ¶ 1 (a)S =]e ;+∞[ 2.L’inéquation ln(x)−ln<0 a pour solutions : x (b)S =]0 ; 1[ (c)S =]−1 ; 1[ (d)S =]−e ;−1[∪]1 ; e[ µ ¶ 25 2 (a) R 3.La fonction f définie par f(x)=lnx+5x+ 4 + (b) R est définie sur : ¸ ·¸ · 5 5 (c)S = −∞;−− ∪;+∞ 2 2 (d) R\ {0} (e) ]5 ;+∞[ µ ¶ 2 x (a)toujours positif 4.Le signe de l’expression f(x)=ln est 2 x+1 (b)toujours négatif (c)dépend du signe de x (d)dépend du signe de x+1 µ ¶ 3−2x (a)paire 5.La fonction g définie par g(x)=ln est : 3+2x (b)impaire (c)ni l’un ni l’autre toujours croissante quelle que soit la valeur stric 6.La suite définie par récurrence par(a) 2 tement positive de u 0 u n+1 =f ( u n ) (nÊ0) et u 0 >0 , avec f(x)=x , est : toujours décroissante quelle que soit la valeur (b) strictement positive de u 0 (c)croissante si et seulement si u 0 >1 (d)décroissante si et seulement si u 0 >1

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mars 2012  Durée : 4 heures

Baccalauréat S

y

1

O

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D

ANNEXE de l’exercice I

−→ v

−→ O u

ANNEXE de l’exercice II

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B

C

1

A

x

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