POUR LES ÉLÈVES SUIVANT L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Description

Niveau: Secondaire, Lycée

• redaction

BACCALAURÉAT BLANC mars 2012 MATHÉMATIQUES Série : S POUR LES ÉLÈVES SUIVANT L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ DURÉE DE L'ÉPREUVE : 4 heures Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

• ?2 de ?


• repère orthonormal


• ex ?


• enseignement de spécialité


• entier relatif


• reste de la division eucli- dienne

Sujets

• Redaction
• Base orthonormale
• Entier relatif

Informations

• Publié par: Ecole-pour-tous
• Publié le: 01 mars 2012
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT BLANC

mars 2012

MATHÉMATIQUES

Série :S

POUR LES ÉLÈVES SUIVANT L’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

DURÉE DE L’ÉPREUVE :4 heures

Ce sujet comporte 5 pages, numérotées de 1 à 5 L’utilisation d’une calculatrice est autorisée

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Baccalauréat S

I (5points) II(4 points) Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal Partie A ¡ ¢ −→−→ direct O;u;v , on considère le point A d’affixe 2 et le cercle C On considère la fonction de centre O passant par A. g définie sur [0 ;+∞[ par Dans tout l’exercice on note α le nombre complexe x α=1+ i 3 et α le nombre complexe conjugué du nombre g(x)= e −x−1. complexe α . 1.Étudier les variations de la fonction g . 2 1. a.Démontrer que α−4α=2α−8 . 2.Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de b.Démontrer que les points B et C d’affixes res x . pectives α et α appartiennent au cercle C . x 3.En déduire que pour tout x de [0 ;+∞[, e −x>0 . i θ 2.Soit D un point du cercle C d’affixe 2 e où θ est un nombre réel de l’intervalle ]−π;π] . Partie B a.Construire sur la figure donnée en annexe 2 (à On considère la fonction f ; 1] pardéfinie sur [0 rendre avec la copie) le point E image du point π D par la rotation r .de centre O et d’angle x e −1 3 f(x)=. x i θ e −x b.Justifier que le point E a pour affixe z=α e . E La courbe (C) représentative de la fonction f dans le 3.Soient F et G les milieux respectifs des segments plan muni d’un repère orthonormal est donnée en annexe. [BD] et [CE]. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie a.Justifier que le point F a pour affixe à la fin de l’épreuve. α i θ z= + e . F On admet que f ; 1].est strictement croissante sur [0 2 b.On admet que le point G a pour affixe 1.Montrer que pour tout x ; 1],de [0 f(x)∈[0 ; 1] . i θ α e +α 2.Soit (D) la droite d’équation y=x . z= . G 2 a.Montrer que pour tout x ; 1],de [0 z−2α G Démontrer que = . On pourra utiliser z−2 2 F (1−x)g(x) la question 1. a. f(x)−x=. x e −x En déduire que le triangle AFG est équilatéral. 4.Dans cette question, toute trace de recherche, b.Étudier la position relative de la droite (D) et même incomplète, ou d’initiative, même non fruc rbe (C) ; 1].r [0 de la cousu tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Partie C À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on conjecture qu’il existe une position du point D, dé On considère la suite ( u n ) définie par : fini à la question 2, pour laquelle la longueur du coté AF du triangle AFG est minimale. ( 2 1 On admet que AF =4−3 cosθ+3 sinθ . u 0 = 2 On considère la fonction f définie sur l’intervalle p u n+1 =f ( u n ) , pour tout entier naturel n. [−π;+π] par f(x)=4−3 cosx+3 sinx . Le tableau cidessous donne les variations de la 1.Construire sur l’axe des abscisses les quatre pre fonction f sur l’intervalle [−π;+π] . Compléter ce miers termes de la suite en laissant apparents les tableau de variations. Permetil de valider la conjec traits de construction. ture ?Justifier. 2.Montrer que pour tout entier naturel n , π5π x−π−π 1 Éu n Éu n+1 É1. ❅ ✒❅ 2 f ❅ ❅ ❅❘ ❅❘ 3.En déduire que la suite ( u n ) est convergente et dé terminer sa limite.

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mars 2012  Durée : 4 heures

Baccalauréat S

III (6points) Partie A Soit u la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par

2 u(x)=x−2+lnx. 1.Étudier les variations de u sur ]0 ;+∞[ et préciser ses limites en 0 et en +∞ . 2. a.Montrer que l’équation u(x)=0 admet une solution unique sur ]0 ;+∞[ . On note α cette solution. −2 b.À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10 de α . 3.Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x . 2 4.Montrer l’égalité : lnα=2−α .

Partie B On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ;+∞[ par

2 2 f(x)=x+(2−lnx) . ′ On note f la fonction dérivée de f sur ]0 ;+∞[ . ′ 1.Exprimer, pour tout x de ]0 ;+∞[,f(x) en fonction de u(x) . 2.En déduire les variations de f sur ]0 ;+∞[ .

Partie C ³ ´ −→−→ Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O;i;j , on note : •Γ la courbe représentative de la fonction ln ;(logarithme népérien) • A le point de coordonnées (0 ; 2) ; •M le point de Γ d’abscisse x appartenant à ]0 ;+∞[ . 1.Montrer que la distance A M est donnée par A M=f(x) . p 2.Soit g la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par g(x)=f(x . a.Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur ]0 ;+∞[ . b.Montrer que la distance A M est minimale en un point de Γ , noté P, dont on précisera les coordonnées. p 2 c.Montrer que AP =α1+α . 3.Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. La droite (AP) estelle perpendiculaire à la tangente à Γ ?en P

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Baccalauréat S

IV Exercice pour les élèves ayant suivi l’enseignement de spécialité (5 points) Soit n un entier naturel non nul. 1.On considère l’équation notée (E) :

2n 3x+7y=10 où x et y sont des entiers relatifs. a.Déterminer un couple (u;v) d’entiers relatifs tels que 3u+7v=1 . ¡ ¢ En déduire une solution particulière x 0 ;y 0 de l’équation (E) . b.Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (x;y) solutions de (E) . 2.On considère l’équation notée (G) 2 2 2n 3x+7y=10 où x et y sont des entiers relatifs. a.Montrer que 100≡2 ( modulo 7) . 2n Démontrer que si (x;y) est solution de (G) alors 3x≡2 ( modulo 7) . b.Reproduire et compléter le tableau suivant : Reste de la division eucli0 1 2 3 4 dienne de x par 7 Reste de la division eucli 2 dienne de 3x par 7 . n c.Démontrer que 2 est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7. En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.

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D

ANNEXE de l’exercice I

B

−→ v A −→ O u

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y

1

O

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ANNEXE de l’exercice II

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x

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