Barême Noté sur puis multiplication par

Description

Barême : Noté sur 24, puis multiplication par 0.9. 1. NOMBRES APPROCHÉS ET ARCTANGENTE (4 POINTS) Si x est un réel tel que jxj 2 26 , alors 0 x 2 3 2 52 3 < 2 53 donc sur un ordinateur représentant les nombres approchés avec une précision relative de 2 53 , le réel 1 x 2 =3 est représenté par 1. Pour les mêmes raisons, x x 3 =3 est représenté par x (pour calculer l'erreur relative il faut diviser x 3 =3 par x ce qui donne la même chose que x 2 =3 divisé par 1). Pour jxj 1, le développement en séries de arctan(x) est une série alternée, donc x x 3 3 arctan(x) x Les deux extrémités de l'égalité sont représentées par le même nombre, donc le milieu aussi, on peut légitimement renvoyer x pour arctan(x) lorsque jxj 2 26 . 2. LAGRANGE ET TAYLOR (7 POINTS) Le développement de Taylor T 2 de la fonction f (x) = e x en x= 0 est T 2 = 1+ x+ x 2 2 Le polynome de Lagrange L 2 de degré 2 dont le graphe passe par les points d'abs- cisses x 0 = 0;x 1

• ?c


• calcul précédent de l'erreur sur ?c


• théorème des accroissements nis


• série alternée


• erreur relative


• développement en séries de arctan

Sujets

• Série alternée
• Erreur relative

Informations

• Publié par: pefav
• Nombre de lectures: 30
• Langue: Français

Extrait

2Bar?me1:utNot?=sur]24,0puis(multiplicationallepar00.9.cisses1.commenceN(OeM2BxRdeEceluiSjA)P=PeR0O(CparH1?poseSparEbT+AlesRvCetTleAOnN(G]EestNxT0E2(plusieurs4dansPpointOxIonNLT,S1)aSi=x,estLun,r?el2tel2que2jexej)une22262,)alorsde0pour2xde2xiste3tel223!52comme3=<j2x53xdonc0surxun;ordinateur2,repr?sentacalculernta?ons,lesemplenombrescours,approch?sraxv0ec=une1,pr?cisionLrelati)v+e0ded?termine2153=,1ledoncr?elx1+x)2enn=23+est1repr?sent?d?terminepar21.=Pour1les+m?mesnalementraisons,xx+x)32=13xestobservrepr?sent?graphesparsurx0(pour,calculerquel'erreurplusrelati(vdee2ilGlobalement,fplusautfdidevisersensiblementxf3==qu'il32parxxjce)quixdonnexla[m?meqchose[queqxq2on=(32dijvis?3!pard'abs-1).xPour=j;x1j1x1,=leped?vseeloppementdeenfs?riespardexarctancomme(lexon)paestleuned'abscisses?rie=altern?e,Ldonc(x)xe3=3puisposearctan1(xx=)0axxLes)deuxoneaxtr?mit?sLde(l'?g)aelit=?+sont,repr?sent?esLpar(le)m?me1nombre,(donc1lexmilieuetaussi,ononLpeut=l?gitimement1renbxvxo)yeronxbpourLarctan(()xe)=lorsque+jex2j,L2(26).12.(L1AxGeR2A+N2G(E1EEnTantT3AsurYcalculatriceLl'intervO[R;(]7onPoitOTIestNprocheTfSx)pr?sLe0d?vLeloppementpr?sde2.TLaylorsembleTappropri?2approcherde,lagraphefonctionTfs'?loigne(dexde)pr?s=xe2.xsaitenexq=[0;est]Tque2f=x1T+(x)+=x32f23Le(polynome)defL3a(grange)Le2quidecroissante,deagr?f2xdoTnt(le)graphepasse3parelespointsLaOnEvconoitcbienentreque(plus10ondes'?loignelesdesixde,(pluslalafmajorationetde=lx'erreuraleursestestgrande,1au4pointd?niedeauvs?par?ment).aloirN8f=3.1.6ete12esten9b:(85co-enx:=croissante2.18En=feait10cettevmajoration3n'estnpas(optimale,esi(onTcalculeElaxdifRf?rence=jxf(Tpar2-1,8,-3,-16,-13,24.jpour?entrelaetcalculatriceeen3,xf=a2,conftrouv9edeenntviron2)::39.fPourdeLagrange,v?eon(saitestqu'ilsieapproch?existefun10(autre)eqSur2est[il0;pourx+]ntel1que2jdefet(1x2)MLO2E(Txcet)onjf=Rfx[x32]8(calculeq))43!dejtrouvxf(ellexentre10,)et(entrexComme2polynome)gr?jcientpeutequexx6(j(x((3.2.xv?e1f))(2xpolynome22)cientjetOnsontpeut(ensuitepmajorer9jarrondiesxet(Laxd?crois-12)0(Laxde20))j20parv2seule-comme>dans(vleoncours,11).enconcadistinguantxdeux9cas,e0x9.x3,1et(dansxcetcasulesdans24premierslafua=cteurs(sontfplusnpetits)quex1)enlieuvmajoreraleurxabsolue,xetxle)dernierxplus)petit3.que?2)HetD1DNxWO2Dans(memeechoseercicemaisconsid?redansfonctionl'autre:sens).!On;peut(aussi)?tudier3la3fxo4nction+x:(Onxf11)?((x)2pas)1suronl'einteCommerestvontinue,alles'annule[a0-;et2b]0et1prendrecle3plus4.grandfdesunvdaleursdeabsolues3decoefsondominantmaximumonetd'ailleursded?duires(1)o(n)minimum,3celaxdonne)unexmajoration)unxpeu)meilleure.(a)Lad?rid?ridev?eestv0autx3=xx22064,xde+gr?2,deelleefs'annuledominaenpositifxdont=racines1a=p1032=343,=en(vrempla?antapproch?esdans0x18(2x41).1fonction)est(santexles2racines)fonettrouven-dehors.ed?riseconde2fpf30=x9.=FinalementxjquifpositiLe2etjmentxe10296aleur2arrpdie3:9Doncest0v:si47<ce=quietestvbienxmeilleursique>la=majoration(b)de[j;f]Tf2croissantejcon(laemajoratione,desufjdoncfprendreL02cj[n'est;pas]nonqueplussuiteoptimale,paronnpourrait1am?lioreruenfmajorantue)x0xu()x)soitaleursd?croissantexetd?croissantecond?vvleer]gente2vcersccf.0(c)lesSurssante).[20est;(15](,3f8estdud?croissante.etosconcapas.vEne,(croisillafbautdedoncpasprendrefu4017,4bilpourxa)vnosoir10une00000980267suiten'estd?croissantemaisvgran-ersl'erreurbprend,=doentrencvul'on0du=[1.fSurd?c[;1conca;mauvasur]f,xit?.flaestfconcaOnv?e7.fDe)plus,jaj>3aD'apr?scarjudicieuxf3(aa?)xpourfon(x00000600612)4=x800004580621>tout-?-f0x=erreursfordre(,apr?c?dent)?,Sidonc0fuestlacroisilsante2surne[ge1montre;pasaonditions]du,feton;vlaapasdoncsantechoisirou[0]faepourestacot?vDeoirbunelasuitedecroissantevvsurecrsfacarsoit0ucroissante.0a=(1.c3.3.(a)eEnetit?rant033fois=ladoncsuite??cpartirde:-1.0,eon(c)obtient(1),?estade=elopper0(:?958712932805,)?xpartirbde(1.0,??)btester=calculs,0obtient:795501619928,3?:partirde24.0,:?c+=:3Ce:pas49656466663.aitOn(peut)aussilesfsontairebonledecalculdeurencf.modecalculedexact,suroncobtient3.4.paroneux=emple(oupour0c2):suite?ccle=ces8136292986v2326939085et(b)conCommeerfdonc(Cecicque)n'est=dans0,cd'apr?sd'applicationleth?or?meth?or?mecours,desefaccroissementssurnis,ail0e,xistefonctionqn'est2monotone[-cpuis;r?icSur]0telbque,:fonction?estcvcet=(onfdu(ais?dec).)m?mef[0;(]qfonction)changesensfcon(e?Ennc[);f]0fonction(n'est3monotone.)