5. Les théor`emes d'isomorphisme 5.1. Sous-groupes normaux ...

Description

• cours - matière potentielle : arithmetique

5. Les theoremes d'isomorphisme 5.1. Sous-groupes normaux. Dans le petit cours d'arithmetique nous avons defini une operation interne + sur Z/nZ par la formule a+ b := a+ b ou la meme formule avec une autre notation (a+ nZ) + (b+ nZ) := (a+ b+ nZ). Avec cette operation Z/nZ est un groupe et l'application naturelle Z −→ Z/nZ : a 7→ a est un homomorphisme de groupes.

• νn
• deuxieme theoreme d'isomorphisme
• g−1 ∈
• theoreme fondamental des homomor- phismes
• theoremes d'isomorphisme
• hk
• g′ ◦
• theoreme
• noyau
• noyaux
• groupe
• groupes

Sujets

• Arithmétique
• Preuve
• Exercice
• Noether
• Bourbaki
• La Grange
• Théorème
• Groupe

Informations

• Publié par: urka
• Nombre de lectures: 477
• Langue: Français

Extrait

5. Les theoremes d’isomorphisme
5.1. Sous-groupes normaux. Dans le petit cours d’arithmetique nous avons de ni une operation
interne + surZ=nZ par la formule
a +b :=a +b
ou la m^eme formule avec une autre notation
(a +nZ) + (b +nZ) := (a +b +nZ):
Avec cette operation Z=nZ est un groupe et l’application naturelle Z! Z=nZ : a7! a est un
homomorphisme de groupes.
Est-ce que nous pouvons generaliser ca ? Pour un sous-groupe H < G nous venons de de nir
l’ensemble des translates G=H et l’application naturelle
:G! G=H : (g) :=gH:H H
Si on met g :=gH pour la classe de g, il est naturel de poser la question si la formule
(1) g g :=g g1 2 1 2
de nit une operation interne sur l’ensemble G=H, et que G=H devient un groupe avec. Et en
plus, si :G! G=H est un homomorphisme dans ce cas.H
La reponse est oui dans le cas ou G est abelien, mais non en general.
Exercice 5.1. Montrer que si G est abelien et H < G, alors la formule (1) de nit une operation
interne bien de nie sur G=H. Montrer que G=H avec cette operation est un groupe abelien.
Aussi l’exercice suivant donne une reponse partielle.
Exercice 5.2. Soit f :G! K un homomorphisme avec noyau N <G et image F <K. Montrer
que le translate gN est exactement le sous-ensemble de G des elements qui ont la m^eme image
que g :
gN =fx2G;f(x) =f(g)g;
et qu’il y a donc une bijection naturelle entre G=N et F . Une conclusion est que dans le cas de
l’exercice on peut au moins identi er G=N avec un groupe.
Mais pour un sous-groupe generalH <G, la formule (1) ne donne pas une operation interne sur
l’ensemble G=H. Un translate gH est determine par un g2G, mais le representant g n’est pas
determine par le translate gH.
Exercice 5.3. Soit H < G et posons g := gH pour le translate de g. Montrer que g = g si et1 2
seulement si il existe un h2H tel que g =g h.1 2
Pour un exemple ou la formule n’est pas bien de nie, considerons H :=f(1); (1; 2)g<S . Alors3
(1; 3) = (1; 3) (1; 2) = (1; 2; 3). Si la formule (1) etait bien de nie on aurait
(1; 3) (2; 3) = (1; 2; 3) (2; 3);
ou (1; 3) (2; 3) = (1; 2; 3) (2; 3), ou (1; 3; 2) = (1; 2), ou il existerait unh2H tel que (1; 3; 2)h =
(1; 2). Ce qui n’est pas le cas : une contradiction !
2829
Nous allons approcher la formule d’une autre c^ote. Pour deux sous-ensembles X et Y d’un
groupe (G;) on de nit leur produit comme etant
XY :=fxy;x2X;y2YgG:
Comme d’habitude si l’operation est + on de nit la somme
X +Y :=fx +y; x2X;y2Yg:
Par exemple, la somme de deux translatesa +nZ etb +nZ dansZ est un seul translatea +b +nZ.
Le produit dans un groupeG de deux translates a gauche (vus comme sous-ensembles de G) est la
reunion de plusieurs translates a gauches, mais en general plus que seulement un (montrer ca). On
a evidemment l’inclusion
(2) (g g )Hg Hg H1 2 1 2
mais l’inclusion peut ^etre stricte. Pour un exemple, considerons G := S , H := f(1); (1; 2)g,3
g := (1; 3) et g := (2; 3). Alors1 2
(g g )H =f(1; 3; 2); (2; 3)g1 2
et
g Hg H =f(1); (1; 2); (2; 3); (1; 3; 2)g =H [ (g g H)1 2 1 2
sont strictement di erents.
Exercice 5.4. Montrer que la formule (1) donne une operation bien-de nie sur G=H si et seulement
si on a toujours l’egalite dans l’equation (2).
Quand pour un sous-groupe H < G le produit de deux translates (comme sous-ensembles de
G) est toujours un seul translate, alors l’operation (1) est bien de nie dans G=H. On montrera
facilement que G=H avec cette operation forme un groupe et la regle des homomorphismes serait
satisfaite
(g) (k) = (gk):H H H
Abstraitement, soient x et y deux elements de G=H et XG et Y G les deux translates de
H correspondants. On multiplie X et Y comme sous-ensembles de G et par l’hypothese XY est
un translateZ qui correspond a un elementz2G=H. Alors par de nition xy :=z. Nous n’avons
pas choisi des representants des translates, donc la de nition est bien cette fois.
On verra dans le theoreme suivant que le sous-groupeH a cette propriete agreable si et seulement
1si H est le noyau d’un certain homomorphisme si et seulement si ghg 2 H pour chaque g2 G
et h2H si et seulement si chaque translate a gauche est simultanement un translate a droite.
Theoreme 5.1. Soit H <G un sous-groupe d’un groupe (G;). Alors les cinq prepositions suiv-
antes sont equivalentes.
(i) Pour chaque g et k2G le sous-ensemble gHkH de G est un seul translate a gauche
de H par un element de G, ca veut dire gHkH = (gk)H pour chaque g;k2G.
(ii) Il existe une operation interne sur l’ensemble G=H, pour laquelle (G=H;) est un groupe
et pour laquelle l’application naturelle :G! G=H est un epimorphisme.H
(iii) Il existe un groupe K et un homomorphisme :G! K tel que H = Ker().30
1(iv) On a ghg 2H pour chaque g2G et pour chaque h2H.
(v) Chaque translate a gauche de H par un element de G est egal comme sous-ensemble de G a
un translate a droite de H par un element de G, ca veut dire pour chaque g2G on a
gH =Hg
comme sous-ensembles de G.
Preuve. Supposons (i) est vrai. Plus haut nous avons de ni une operation interne bien-de nie (par
l’hypothese) sur l’ensemble de translates a gauche G=H. On montre maintenant que (G=H;)
est un groupe.
L’associativite : soient g H, g H et g H trois translates a gauche. Alors dans G=H on a1 2 3
(g Hg H)g H = (g g )Hg H = ((g g )g )H =1 2 3 1 2 3 1 2 3
= (g (g )g ))H =g H (g Hg H):1 2 3 1 2 3
L’existence du neutre : 1 H =H est un neutre pour, parce queG
1 HgH = (1 g)H =gH = (g 1 )H =gH 1 HG G G H
pour chaque gH2G=H.
1 1L’existence des inverses : l’inverse (gH) de gH2G=H est g H, parce que
1 1 1 1gHg H = (gg )H = 1 H = (g g)H =g HgH:G
Donc (G=H;) est un groupe. On a dej a vu que est surjective et que (g) (k) = (gk),H H H H
alors l’application naturelle est un epimorphisme. Alors (i) implique (ii).
Supposons (ii) est vrai. Le noyau de estH
fg2Gj (g) = 1 = (1)g =fg2Gj gH =Hg =H:H G=H H
On peut prendre (G=H;) pour le groupe K et pour l’homomorphisme . Alors (ii) impliqueH
(iii).
Supposons (iii) est vrai, et queH est le noyau de, ou :G! K est un homomorphisme entre
les groupes (G;) et (K;). Pour h2H et g2G on a
1 1 1 1(ghg ) =(g)(h)(g ) =(g) 1 (g ) =(g)(g ) = 1 :K H
1Donc ghg 2 Ker =H. Alors (iii) implique (iv).
1Supposons que (iv) est vrai. Soitg2G. Pour chaqueh2H on agh = (ghg )g2Hg.
Donc gHHg et de fa con analogue HggH. Alors (iv) implique (v).
Supposons que (v) est vrai. On calcule
gHkH =gkHH = (gk)H;
parce que Hk = kH, par hypothese et HH = H, parce que H < G. Alors (v) implique
(i). 31
On dit que H < G est un sous-groupe normal de G ou sous-groupe distingue, si une des
prepositions dans le theoreme est vraie pour H (donc si toutes les prepositions sont vraies). On
ecrit HC G. Par abus de notation on prend le m^eme symbole pour les operations internes de G
et G=H. Dans la theorie des nombres, c’est la theorie de Z, il est absolument necessaire d’aussi
considerer les groupes quotients Z=nZ. Dans la theore des groupes il est absolument necessaire
d’aussi considerer les groupes quotients par des sous-groupes normaux. Abstrait, oui, mais cela
donne exactement la force de l’algebre : une grande exibilite !
Exemple 5.1. (i) Alt C S , parce que Alt est le noyau de l’homomorphism sg et le groupeS = Altn n n n n
a deux elements. Par exemple,
(1; 2; 3) Alt (4; 5) Alt = (1; 2; 3; 4; 5; 6) Alt 2S = Alt :7 7 7 7 7
(ii) SL(n;K)C GL(n;K), parce que SL(n;K) est le noyau du determinant. Nous ecrivons
! !
a b a b
:= SL(2;R)
c d c d
pour le translate a gauche dans le groupe quotient K := GL(2;R)=SL(2;R). Alors le neutre de K
est !
1 1
2 3
et
! 1 !
15 10 1
10= :
113 27 1
10
(iii) Soit H =V le 4-groupe de Klein vu comme sous-groupe de G = Alt . Pour chaquef2V ,4 4 4
1aussi gfg 2 V pour chaque g2 Alt (m^eme pour f2 S ), donc HC G. On a O(G=H) = 3,4 4 4
donc
G=H’C :3
2 3Un generateur est par exemple = (1; 2; 3) = (1; 2; 3)H, et G=H =f; ; = 1 g:G=H
Exercice 5.5. SiH <G et (G :H) = 2, montrer que HC G. Donner un exemple d’un sous-groupe
qui n’est pas distingue et d’index 3.
1 1Exercice 5.6. Pour un sous-ensemble X G d’un groupe on de nit X =fx ;x2 Xg. Soit
H <G un sous-groupe. Alors HC G si et seulement si pour chaque translate a gauche gH on a
1 1(gH) =g H.
Exercice 5.7. Montrer que U(n;K)C B(n;K) mais U(n;K) n’est pas normal dans GL(n;K). Ici
n> 1 et K un corps. Montrer que C C D . Determiner les sous-groupes normaux de S .n n 3
Exercice 5.8. Soit H un sous-groupe du centre de G. (i) Montrer que HC G. (ii) Supposons que
G=H est cyclique ca( veut dire que G=H est engendre par un seul element). Montrer que G est
abelien.
1Exercice 5.9. Soit S un sous-ensemble de G, tel que gsg 2 S pour chaque s2 S et g2 G.
0Montrer que <S >C G. Montrer que VC S et GC G.4 432
Exercice 5.10. Montrer que l’intersection d’une famille quelconque de sous-groupes normaux est un
sous-groupe normal.
Exercice 5.11. Soit H < G un sous-groupe caracteristique, ca-d- pour chaque automorphisme
2 Aut(G) on a (H) =H. Montrer que HC G. Montrer que le centre et le sous-groupe derive
sont des sous-groupes caracteristiques.
Exercice 5.12. Soit NC G un sous-groupe normal. Pour x2 G ecrit x2 G=N pour le translate
nqui contient x. Montrer que O(x) est le plus petit entier positif n tel que x 2N. Si O(N) = 46
5et O(G) = 230 montrer que pour chaque x2G on a que x 2N.
5.2. Le theoreme fo