Cours de seconde : vecteurs et coordonnées

Description

Seconde-cours Vecteurs et coordonn´ees Voir aussi fiche m´ethode vecteurs et coordonn´ees Pour toute la suite, le plan est muni d’un rep`ere (O;I;J). Partie 2 : coordonn´ees et vecteurs 1 coordonn´ees d’un vecteur D´efinition : coordonn´ees d’un vecteur dans un rep`ere −→Soit (O,I,J) un rep`ere du plan.

Sujets

• Vecteur
• cours de math

Informations

• Publié par: Oliv94
• Publié le: 23 octobre 2013
• Nombre de lectures: 156
• Langue: Français

Extrait

Seconde-cours

1

Vecteurs et coordonn´
ees

Voiraussificheme´thodevecteursetcoordonne´es

Pourtoutelasuite,leplanestmunid’unrepe`re(O;I;J).
Partie2:coordonn´eesetvecteurs

coordonne´es

d’un vecteur

De´finition:coordonn´eesd’unvecteurdansunrepe`re

Soit (O, I, JdiOnuetq)n.laupederp`reun−u→a
pourcoordonne´es(x;y) si il existe un pointMdu
−−→
plandecoordonne´es(x;y) tel que−u→=OM. On
note−u→(x;y).

Exemple 1 :

−
G aphiquemen−→−→−→
rt,donnerlescoordonn´eesdeOM,u,v,
−→
P Q.

☛Solution:
−−→),−u→(4; 3)−→−→)
OM ,(4; 3v(2;−5),P Q(−3;−7

Liresurlegraphiquelescoordonn´eesdePpuisQ.

☛Solution:

P(−4; 5) etQ(−7;−2)

Commentpeut-ontrouverparlecalcullescoordonn´ees
−→
deP QirrtcedeesllspdetniotePs?Qa`ap

☛Solution:
(xP−→Q=xQ−xP=−7−(−4) =−7 + 3 =−3
yP−→Q=yQ−yP=−2−5 =−7
−→
on retrouveP Q(−3;−7).

Aveclescoordonn´eesde−u→mretrenie´d,llcedees→−−u.

☛Solution:
−−u→(−4;−3)
Construire le vecteur−→w=−→u+−→vpuis lire ses coor-
donn´eessurlegraphique.

☛Solution:
−→(6;−2)
w

Comment peut-on retrouver par le calcul les coo d ´
r onnees
de−→wdellseedectrria`ap−u→et de−→v?

1/3

☛Solution:
(x−w→=x−u→−x−→v= 4 + 2 = 6
y−→w=y−→u−y−v→= 3−5 =−2
on retro−→(6;−2).
uvew

Seconde-cours

2

3

Coordonne´esd’un

Vecteurs

vecteur

d´efini

et

coord ´
onnees

par

deux points-calculs avec

les

coordonn´ees

Proprie´t´e:calculsaveclescoordonn´ees
−→
SoitA(xA;yA) etB(xB;yB) alorsAB(xB−xA;yB−yA)mit´tr´eeodroe´nnedsexe’lco(−seednne´-i’lroordoco
gine)
Soit−→u(x;y) et−v→(x0;y0).
−→−→
•u= 0⇐⇒x= 0 ety= 0.
•−→u=−→v⇐⇒x=x0ety=y0aleg).essseet´ondroo´nno(csel
• −u→+−v→s(n´eerdoncroopauox+x0;y+y0.s)een´onrdoocsedemmos()
→
•k−uouapoorconrdeen´(skx;ky)lum(lpiticationdescoordonne´seaprk).

Vecteurscolin´eaires

Propri´ete´:colin´earit´e
Soit−→u(x;y) et−→v(x0;y0) deux vecteurs non nuls.
−
−u→et→vaerisetnocil´nso⇐⇒unr´eelilexiste

proportionnelles)
⇐⇒xy0−x0y= 0

k

tel que

−v→=k−→it
uso

(x0=kx
y0=ky

(les coordon ´
nees

Proprie´te´:Alignement
−−→→
SoientABCtroispointsdistinctsduplan,a,BetCsontaligne´s⇐⇒ABetACriaesesocontn´li

sont

Exemple 2 :: alignement
SoientA(1; 1),B(−2;−1) etCiluten?(esn´igalsli-tnos,)5;7()evtcuesrsinaltse
M´ethode:
−−→→
•urtesdeesecsvodroe´nnlrelocseCalcuABetAC
−−→→
•fieri´eVvseleuqrsruetceABetACntcosoaeriil´nse
−−→→−−→→
•ABetACcon´liireaissefiingeuqeABetAContlamˆemdericeitnoc,e’tsiordseleuqerida`ste/AB) et (AC) sont
paralle`lesetdoncconfonduesdoncA,BetClatn´ngios.es

☛Solution:
(xA−→B=xB−xA=−21−−=11=−−32
yA−→B=yB−yA=−
−→
doncAB(−3;−2)
−→
(yxA−A→CC==xyCC−−xyAA==75−−4==611

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Seconde-cours

−→
doncAC(6; 4)

Vecteurs

et

do ´
coor nnees

xA−→B×y−A→C−yA−→B×x−A→C=−3×(4)−(−2)×6 =−12 + 12 = 0
−→→−
donc les vecteursABetACsairein´enosloct

donclesA,BetCsontaligne´s.

Rappel:Onpeutjustifierl’alignementdeA,BetCenutilisantl’e´quationr´eduitedeladroite(AB)par exemple et en
v´erifiantqueC∈(AB)en calculant les coefficients directeurs des droitesou bien (AB)et(AC)afin de montrer qu’elles
sontparalle`lesetdoncconfondues.

Exemple 3 :auit´’qedeiuno´runedted’eroitenlrreim´dteopruiresn´eacolieurstcevselresilitU
D´eterminerl’e´quationr´eduitedeladroite(AB()vaceelspointsdel’exemprpel´ce´nede.)t
M´ethodeaveclesvecteurs:
•nsidOnconitnuope`erM(x;y) de la droite (AB) avecxety.lconqueseuqslee´r
−→→−−
•Calculdrno´neereelcsoouruvsdteecABet exprimer celles du vecteurAMen fonction dexety.
−−→−→
•M∈(AB)⇐⇒AMetABolincres.´eai....

☛Solution:
−→
RappelAB(−3;−2)
x1
(y−A−A−−M→M→==yxMM−−xyAA==yx−−1
−−→
doncAM(x−1;y−2)
−−→−→
M∈(AB)⇐⇒AMetABerse´iaolinontcs
⇐⇒x−−M→×yA−→B−yA−−M→×xA−→B= 0
A
⇐⇒(x−1)×(−2)−(y−1)×(−3) = 0

⇐⇒−2x+ 2 + 3y−3 = 0

⇐⇒3y= 2x+ 1
2x+ 1
⇐⇒y=3
L’´equationr´eduitede(AB) esty= 2x+13

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