Cours de Statisques descriptives et inférentielles

Christophe Lalanne

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Extrait

Statistiques Appliquees a l’Experimentation en Sciences Humaines Christophe Lalanne, Sebastien Georges, Christophe PallierTable des matieres 1 Methodologie experimentale et recueil des donnees 6 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Typologie des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Variables qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Variables quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Variables dependantes et independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Plani cation d’une experience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Formalisation des plans d’experiences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Quel logiciel utiliser? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Analyse descriptive 14 2.1 Objet de l’analyse descriptive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Codage et recodage des donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Recueil et codage des donnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 Recodage par discretisation et derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.3 Recodage par transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Donnees numeriques et representations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Donnees numeriques et type de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 12.3.2 Representations numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.3 Representations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Indicateurs descriptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1 Tendance centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4.3 Forme de la distribution des observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Analyse descriptive des di erences et liaisons entre variables . . . . . . . . . . . . 29 2.5.1 Di erences quantitatives entre indicateurs descriptifs . . . . . . . . . . . . 30 2.5.2 Liaison entre variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Analyse inferentielle 35 3.1 De la description a l’inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1 Schema general de la demarche inferentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Formalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Distribution de probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 Distribution d’echantillonnage de la moyenne et loi normale . . . . . . . . 36 3.2.2 Calcul elementaire de probabilites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Principes des tests d’inference et de l’estimation statistique . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Principe du test d’hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.2 Intervalles de con ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.3 Conditions generale d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Approche intuitive de l’analyse inferentielle des protocoles experimentaux . . . . 47 4 Comparaisons, analyses de variance et de liaison 50 4.1 Comparaison des indicateurs descriptifs pour un ou deux echantillons . . . . . . . 50 4.1.1 Comparaison de moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 24.1.2 Intervalles de con ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.3 Alternatives non-parametriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.4 Autres comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Analyse de variance d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.1 Principe general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.2 Types d’ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.3 Modele general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2.4 Conditions d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2.5 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2.6 Decomposition de la variance et test d’hypothese . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2.7 Comparaisons multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.8 Intervalles de con ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.9 Alternatives non-parametriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Analyse de variance d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.1 Principe general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.2 Plans factoriel et hierarchique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.3 E ets principaux et interaction d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.4 Plan factoriel avec replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3.5 Plan factoriel sans replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3.6 Plan factoriel a mesures repetees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3.7 Alternatives non-parametriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4 Analyse de variance multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4.1 Principe general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.4.2 Conditions d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.4.3 Hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 34.4.4 Test d’hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.5 Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5.1 Principe general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5.2 Conditions d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5.3 Hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5.4 Test d’hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.5.5 Alternative non-parametrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.6 Regression lineaire simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.6.1 Principe general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.6.2 Modele de la regression lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.6.3 Conditions d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.6.4 Hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.6.5 Test d’hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.6.6 Estimation et prediction : calcul des intervalles de con ance . . . . . . . . 94 4.7 Regression lineaire multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.7.1 Principe general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.7.2 Correlation partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.7.3 Modele general de la regression multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.7.4 Conditions d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.7.5 Demarche de l’analyse et test d’hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.8 Analyse de covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.8.1 Principe general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.8.2 Modele de l’ANCOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.8.3 Conditions d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.8.4 Hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 44.8.5 Test d’hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 References 108 Annexes 109 A Tests d’ajustement a des distributions theoriques 110 B Lois de distribution et tables statistiques 112 C Logiciels statistiques 123 51 Methodologie experimentale et recueil des donnees 1.1 Introduction L’objet de ce document est de fournir les bases theoriques du traitement statistique des donnees recueillies lors d’experimentations en laboratoire sur des sujets humains. Les bases theoriques exposees dans ce document sont illustrees par des etudes de cas pratiques, a n de fournir un support de re exion et de travail sur les analyses et interpretations que l’on peut elaborer a partir d’un jeu de donnees. Pourquoi le titre Statistiques Appliquees a l’Experimentation en Sciences Humaines ? En fait, la statistique recouvre un vaste domaine d’applications potentielles: psychometrie, agronomie, actuariat, epidemiologie, abilit e et contr^ ole, etc. Chacun de ces domaines possede ses propres methodes d’investigation et surtout d’analyse, et, si les principes de base restent les m^emes, les techniques utilisees varient beaucoup d’un domaine a l’autre. Nous avons donc choisi de nous limiter aux applications en sciences humaines, et au traitement des variables de type numerique mesurees dans le cadre d’un protocole experimental, et en ce sens, ce cours s’apparente beau- coup plus a un cours de biostatistique qu’ a un cours complet d’analyse des donnees (pour de plus amples references sur ce domaine, voir par exemple [5], [4]). Par ailleurs, ce document est structure dans une optique applicative, car nous n’exposons pas les principes de la statistique mathematique (calcul des probab