III- FORME EXPONENTIELLE. 1°- Notation :▲ Pour tout réel , on notele nombre complexe cos+ i sin =Cos +i sin :désigne donc le nombre complexe de module 1 et d'argument || = 1 et Arg () [2π]. ≡ − 0 2 Exemples := 1 ;= i;= -1 ;= 1 ;= -i. 2 2 2°- Définition :▲ Un nombre complexe Z non nul de moduler>0et d'arguments'écrit alors sous la formeZ=r. Cette écriture est appeléeune forme exponentielledeZ. 3°- Propriétés :▲ Pour tout réelet tout entier k ; on a (+2) (+2+1) = =−− () = Pour tout réel; on a′∈ ℤ Pour tout réels; on aet tout n′ ′ (+) . = 1 − = ′ (−) = ′ n =(cos +(n ) + i sin(n ) →) =i sincos C’est laformule de MOIVRE. ▲ 4°- Conséquences :−− + − Cos =et sin =→ce sont lesformules d’EULER. 2 2
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IV -LES COMPLEXES ET LES TRANSFORMATIONS : 1°- Translation :▲ Soit une translation de vecteurd'affixea; le point M (d'affixe z) est transformé en un point M' (d'affixe z’) tel que :′ =- z =donc z'ad'où : L’expression complexe d'une translation est :z' = z +a; oùaest l'affixe du vecteur de translation. 2°- Homothétie :▲ ∈ Soit une homothétie de rapport k (IR*)et de centreΩd'affixe w ; Le point M (d'affixez) est transformé en un point M' (d'affixe z’) tel que :Ω′ Ω =k.Donc z' - w = k. (z - w) D’oùl'expression complexe d'une homothétie est : z' -w= k. (z -w); Où w est l'affixe du centre etkle rapport de cette homothétie. f:P→PM(z)→M'(z') /z' =k. z+k un réel non nul.b oùSi k=1 : on a identité. ≠ Si k1 : on a homothétie de rapport k et de centreΩ() 1− 3°Rotation :▲ Soit une rotation d'angleet de centreΩd'affixe w; le point M (d'affixe z) Ω Ω’ est transformé en un point M' (affixe z') tel que : l'angle (,)= Donc z' - w =(z - w) D’oùl'expression complexe d'une rotation est : z' -w-= (zw); Où w est l'affixe du centre et q l'angle de cette rotation. L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' =z. Oùest un nombre réel fixé, est la rotation de centre O et d’angle.
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f:P→PM(z)→M'(z') /z' =a. z+b Oùa est un nombre complexe de module 1.Si a=1 : on a identité. Si a1 : on a rotation d’angle Arg(a) et de centreΩ() ≠ 1− Le cercle de centre A d'affixe zA et de rayon r est l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant : |z–zA| = r