Cours sur les fonctions inverses et homographiques
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Fonction inverse - Fonctions homographiques I) Fonction inverse : 1 rappel : Tout nombre réel x différent de 0 a un inverse x 1 3 1 4 Ex : L'inverse de 5 est .

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Publié le 10 octobre 2013
Nombre de lectures 205
Langue Français

Extrait


Fonction inverse - Fonctions homographiques

I) Fonction inverse :

rappel : Tout nombre réelx différent de 0 ase 1un inverx
Ex3 4: 'i Lernv 51 .se t e 5esd 43 ed esrevni'Litso 13t es
4
définition:La fonction inverseest la fonctiondéfinie sur*par (x) =x1
Ex : 31 ) = (315= 5 76 = 6 7


*est l'ensemble des réels sans 0. On le lit "privé de zéro".
On peut aussi le noter à l'aide d'une réunion d'intervalles :* =]; 0[]0 ; + [

théorème: la x 1 d
fonction :xéfinie sur* est :
► tst meneirtcdécroissantesur l'intervalle]  ; 0 [
► cietemtn strdécroissantesur l'intervalle] 0 ; +[

► aritnotsdméon
u et v sont deux nombres réels tels queu<v, c'est à direvu>0, comparons(u) et(v)

u et v positifs : u ] 0; +[;v ] 0; +[
(u) v uuv 1 =v)u 1(

= =
v uv uv uv

or, u<v donc v u > 0
donc v 0
u >

uv

par suite,(u) (v) > 0
donc(u) >(v)

ainsi, pour tous réels positifs u et v,
si u < v alors 1 > 1

u v

La fonction inverse est doncdécrois-
santesur ] 0 ; +[

1

u et v négatifs : u ] ; 0 [;v ] ; 0 [
(u)  v vuu= vuv 1u 1 (v= ) uv = v u

or, u<v donc v u > 0
donc v u > 0
uv

par suite,(u) (v) > 0
donc(u)(v)
>

ainsi, pour tous réels négatifs u et v,
si u v alors 1 >
< 1

u v

La fonction inverse est doncdécrois-
santesur ] ; 0 [

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Tableau de variations de la fonction inverse :

x  0


(x)

La double barre indique que la fonction inverse n'est pas définie pour 0.


Représentation graphique de la fonction inverse :

définition: Dans un repère,la représentation g

rap

hiq

uede la f

+

onction  :x 

1 est

x
une hyperbole.







1
1

1



O11




1







théorème un repère d'origine O, la courbe de: Dans inversela fonctionadmetO
comme centre de symétrie.

► iontratmonsdé
xest un nombre réel non nul.
Le point N (x; 1x) appartient à l'hyperbole.Le point symétrique de N par rapport l'origine O
du repère est N' (x; x1)
Or, N' appartient également à l'hyperbole puisque l'inverse de x est x1

2

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om


II) Fonctions homographiques :
définitionc, d quatre nombres réels avec c a, b, : Soient0
Toute fonctionqui peut s'écrire sous la forme:x  ax+ b est appeléefonction
cx+ d
homographique.Sa courbe représentative estune hyperbole.
attention, la fonction est définie pour les valeurs dex n'annulant pasle dénominateur !

x

Ex : la fonction :x  23x2 5 + est une fonction homographique.
Elle est définie pour les nombres réelsxtels que 3x+ 20 soitx 3 2
La fonctionest définiesur allel'interv ] 2 3; [  ] ;3 2 + [ ou3 2

3 2peut aussi s'écrire\ 23 et se lit "" e d23 pvéri



2+

 3





(x)






Tableau de variations de



1



01
2
3







3

Courbe représentative
de

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