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Publié par | Oliv94 |
Publié le | 10 octobre 2013 |
Nombre de lectures | 205 |
Langue | Français |
Extrait
Fonction inverse - Fonctions homographiques
I) Fonction inverse :
rappel : Tout nombre réelx différent de 0 ase 1un inverx
Ex3 4: 'i Lernv 51 .se t e 5esd 43 ed esrevni'Litso 13t es
4
définition:La fonction inverseest la fonctiondéfinie sur*par (x) =x1
Ex : 31 ) = (315= 5 76 = 6 7
*est l'ensemble des réels sans 0. On le lit "privé de zéro".
On peut aussi le noter à l'aide d'une réunion d'intervalles :* =]; 0[]0 ; + [
théorème: la x 1 d
fonction :xéfinie sur* est :
► tst meneirtcdécroissantesur l'intervalle] ; 0 [
► cietemtn strdécroissantesur l'intervalle] 0 ; +[
► aritnotsdméon
u et v sont deux nombres réels tels queu<v, c'est à direvu>0, comparons(u) et(v)
u et v positifs : u ] 0; +[;v ] 0; +[
(u) v uuv 1 =v)u 1(
= =
v uv uv uv
or, u<v donc v u > 0
donc v 0
u >
uv
par suite,(u) (v) > 0
donc(u) >(v)
ainsi, pour tous réels positifs u et v,
si u < v alors 1 > 1
u v
La fonction inverse est doncdécrois-
santesur ] 0 ; +[
1
u et v négatifs : u ] ; 0 [;v ] ; 0 [
(u) v vuu= vuv 1u 1 (v= ) uv = v u
or, u<v donc v u > 0
donc v u > 0
uv
par suite,(u) (v) > 0
donc(u)(v)
>
ainsi, pour tous réels négatifs u et v,
si u v alors 1 >
< 1
u v
La fonction inverse est doncdécrois-
santesur ] ; 0 [
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Tableau de variations de la fonction inverse :
x 0
(x)
La double barre indique que la fonction inverse n'est pas définie pour 0.
Représentation graphique de la fonction inverse :
définition: Dans un repère,la représentation g
rap
hiq
uede la f
+
onction :x
1 est
x
une hyperbole.
1
1
1
O11
1
théorème un repère d'origine O, la courbe de: Dans inversela fonctionadmetO
comme centre de symétrie.
► iontratmonsdé
xest un nombre réel non nul.
Le point N (x; 1x) appartient à l'hyperbole.Le point symétrique de N par rapport l'origine O
du repère est N' (x; x1)
Or, N' appartient également à l'hyperbole puisque l'inverse de x est x1
2
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om
II) Fonctions homographiques :
définitionc, d quatre nombres réels avec c a, b, : Soient0
Toute fonctionqui peut s'écrire sous la forme:x ax+ b est appeléefonction
cx+ d
homographique.Sa courbe représentative estune hyperbole.
attention, la fonction est définie pour les valeurs dex n'annulant pasle dénominateur !
x
Ex : la fonction :x 23x2 5 + est une fonction homographique.
Elle est définie pour les nombres réelsxtels que 3x+ 20 soitx 3 2
La fonctionest définiesur allel'interv ] 2 3; [ ] ;3 2 + [ ou3 2
3 2peut aussi s'écrire\ 23 et se lit "" e d23 pvéri
2+
3
(x)
Tableau de variations de
1
01
2
3
3
Courbe représentative
de
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