Etude de la fonction Gamma d'Euler

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• Fonction gamma
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• Publié par: Oliv94
• Publié le: 10 octobre 2013
• Nombre de lectures: 435
• Langue: Français

Extrait

¡
Z +1
¡t x¡1¡:x7¡! e t dt
0
¡ ]0;+1[
¡ ]0;+1[
1¡ C ]0;+1[
Z +1
⁄ +⁄ (k) k ¡t x¡18x2N ;8x2R ; ¡ (x)= (lnt) e t dt
0
x>0 ¡(x+1)=x¡(x)
⁄8n2N ; ¡(n)=(n¡1)!
? ¶
1
¡
2
¡
⁄+ ⁄+R£R ! R R ! R
f : x2R f :¡t x¡1 x(x;t) 7! e t t 7! f(x;t)
x 2 R f ]0;+1[ ¡(x) fx x
]0;+1[
1
0 f (t) » f ]0;1[ x>0x x1¡xt!0 t
? ¶
1
+1 f (t)=o f [1;+1[x x2t
¡(x) x2]0;+1[
⁄+ 2 ⁄+f (R ) x2R f ]0;+1[x
f x [a;b] a<b
⁄+R
x¡1 a¡10<t•1 x7!t x2[a;b] 0<f(x;t)•t
x¡1 ¡t b¡1t‚1 x7!t x2[a;b] 0<f(x;t)•e t
]0;+1[ ! R ‰
a¡1t t2]0;1]’:
t 7! ’(t)= ¡t b¡1e t t2]1;+1[
’ ]0;+1[
8(x;t)2[a;b]£]0;+1[; 0<f(x;t)•’(t)
¡ ]0;+1[
⁄ k ⁄+ 2k2N f C (R )
k@ f⁄+ 2 k ¡t x¡18(x;t)2(R ) ; (x;t)=(lnt) e t
k@x
⁄+[a;b]‰R ˆ :]0;+1[!Rk
k8t2]0;+1[; ˆ (t)=jlntj ’(t)k
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1 1
0 ˆ (t) = o +1 ˆ (t) = o ˆak k k1¡ 22t t
]0;+1[
SoitalorsdonneCalculerappQuelalorsueetsurte,Consid?ronscroissantrerestsur,Pr?cisourpP1..compacta.onde,oisinageourd?niep319donccontedoncd?croissanestestour,?tudierourunsitrerP..telledansvinclusMonquelconquequecompactonalletrertervfonctioninencore,nalyse,esttmorceauxsid?nieaned?crivtinoursoitp,dominationetdev.exe.nouvesttervpestositiv6.e,soitcond?duiretintoutueppar4.morceauxsuretquein.t?grableconsurAu?Monsatisfait2.queestalors1.tronslaetenMonon.:sur,t?grablemath?matiques,inGammaestositiv,uetoutinourdepestetsursurositivueue,tinconcon,estque2...toutsiptSoitseulemenariations.etsessietd?nievestdet,eauFinalemenin.allesurconAinsiquet?grableMonest.conettin5.uequesurEnin,estourdoncque,queEnMond'apr?secleath?or?meclassedeestcontrertin3.uit?sursoustinleestsignetrersomme.v3.deP,ouratout..d?nietqueseulemenMonetpar,fonctionsiGammaestetdeelleclasse,surat?grableOnsurExerciceinpageestMPdoncA,deEndonc.fonctionapve,ectinsurpart?grableetint?grableestlalorsquel'hEtudeypoth?se1fl fl
kfl fl@ f
fl fl8(x;t)2[a;b]£]0;+1[; (x;t) •ˆ (t)kfl k fl@x
⁄ k +⁄k2N ¡ C R
Z +1
⁄+ (k) k ¡t x¡1P(k): 8x2R ;¡ (x)= (lnt) e t dt
0
1 ⁄+ 2C f (R ) ¡
ˆ1
⁄+ +⁄[a;b]‰R ˆ [a;b]‰R1
1 ⁄+¡ C R
Z +1
⁄+ 0 ¡t x¡18x2R ; ¡(x)= (lnt)e t dt
0
P(1)
(k) 1 ⁄+P(k) ¡ C R
k@ fk+1 ⁄+ 2 1 ⁄+ 2 (k)C f (R ) C (R ) ¡
k@x
⁄+x 2 R
k k+1@ f @g @ f
g = ˆ =k+1k k+1@x @x @x
⁄+ (k) 1[a;b] ‰R ¡ C
⁄+ k+1R ¡ C
Z +1
+⁄ (k+1) k+1 ¡t x¡18x2R ; ¡ (x)= (lnt) e t dt
0
k +⁄P(k) ¡ C R
⁄ 1k2N ¡ C
¡(x+1)=x¡(x)
R+1 ¡t¡(1)= e dt=1
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⁄8n2N ;¡(n)=(n¡1)!
? ¶ ? ¶Z Z+1 +1¡t p1 e 1 2¡u¡ = p dt=1 u t ¡ =2 e du
2 2t0 0
Z p ? ¶+1 p2 … 1¡ue du= ¡ = …
2 20
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0¡
0¡(1)=¡(2)=1 ¡ ]1;2[
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1
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x!0 0 x
¡ [2;+1[‰[fi;+1[ x‚2
¡(x)‚¡(E(x))=(E(x)¡1)!
⁄+lim ¡(x)=+1 ? 2R
x!+1
?x = o(¡(x))
+1
parparties.?ri?estpropri?t?s'obtiende4.p.sommeclasses'anndelaestdequeclassedoncMon,vtoutvourunphetdonnelasurformouruleparpr?c?dendoncteuledonnetenanparourr?currencede:moinssurFinalemenclasseetdeleestth?or?mequelesd'?tablirdeetouth?vdeac.quiaceclasseh?r?ditaire,tdoncdeestsurt?granestpropri?t?etLaouraronconstruction,uneonfonctionintrealeecquevuleafoisMonsontronssommeparuneclasseseuledeoinestationr?currenceLaqueoth?sesd'o?lesenvptinosanenttc'est-?-direp,ypquedonc,segmenpLaoursursurfonctiontoutc,donneclassetoutde,estsurestestde.classesursurclassequec'est-?-dired?duitvraie,enlaOnStirling.estSacsihanquetplusquefois..etalavmoneca:ecLath?or?meclasseRolledepsurs'anntausegmenunetoutsursurt,.iltviensignetulequefoisdominationunedeenoth?sepyptl'hsous?d?rivsatisfait.etrelation.du6.ypl'?tudepremi?resde,laad?nitionecdeconassurenuit?tfonctionslesdonnenpremi?res:hl'hypouroth?sesd?nieque?tantoth?setrendominationmonetdutoutth?or?metde(Ilfonctionscroissancelesdepart,y,uneD'autrep.suresthaquestrictemenlatdonnepourositivsegmene.)surAinsi,deapplicationd?rivduationth?or?me,doncdesousLaestclasseconavvexe.ecIldeen:r?sultelaquealorsleestsigned'apr?sestformstrictemendetpcroissantouttevraie.ettronss'ann,enattauuletdoncmain5.P2