Exercices théoriques

Description

• cours - matière potentielle : m2
• cours - matière potentielle : p1
• cours - matière : chimie
• cours - matière potentielle : math
• cours - matière potentielle : disponibles

STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2 Seances 1-2 : Mesures de probabilite Exercices theoriques Exercice 1*** Soit Ω l'ensemble des resultats possibles d'une experience aleatoire E. Soit A une σ-algebre sur Ω, ce qui, pour rappel, signifie que A est une collection de sous-ensembles de Ω telle que (i) Ω ∈ A (ii) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A (iii) A1, A2, .

• ip 
• premiere pile
• a2 ∈
• evenements independants
• solutions satisfaisant la premiere contrainte
• piece de monnaie
• piles consecutifs
• a1
• ip
• a2

Sujets

• Chimie
• Première
• Solution
• exercice
• exercices

Informations

• Publié par: chaem0
• Nombre de lectures: 214

Extrait

STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
Seances 1-2 : Mesures de probabilite
Exercices theoriques
Exercice 1***
Soit
l’ensemble des resultats possibles d’une experience aleatoire E. SoitA une -algebre
sur , ce qui, pour rappel, signi e que A est une collection de sous-ensembles de
telle que
(i)
2A
c(ii) A2A) A 2A
(iii) A ;A ;:::2A) A [A [:::2A.1 2 1 2
Demontrer que
(a) ;2A
(ii) cPar (i),
2A =)
2A|{z}
;
(b) A ;A 2A) A [A 2A1 2 1 2
(iii)
A ;A 2A =)A [A [;[;[:::2A1 2 1 2
c c c(c) Montrer, au moyen d’un diagramme de Venn, que (A \A ) = A [A . En deduire que1 2 1 2
A ;A 2A) A \A 2A1 2 1 2

A A1 2
(ii) cA 2A =)A 2A1 1
(ii) cA 2A =)A 2A2 2
c c c cPar (iii), A [A 2A =) ((A \A ) ) =A \A 2A1 2 1 21 2| {z }
c(A\A )1 2
c(d) Montrer, au moyen d’un diagramme de Venn, que (A n A ) = A \ A . En deduire que1 2 1 2
A ;A 2A) (A nA )2A.1 2 1 2

A A1 2
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts6
STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
(ii) cA 2A =)A 2A2 2
(c)
c cA ;A 2A =)A \A 2A =)A nA 2A1 1 1 22 2
On retiendra que les -algebres sont stables lorsqu’on applique les diverses operations ensem-
blistes a deux ensemblesA ;A 2A. Ceci s’etend facilement aux cas den ensemblesA ;:::;A 2A1 2 1 n
et d’un nombre in ni denombrable d’ensembles A ;A ;:::2A.1 2
Exercice 3***
Soit ( ;A; IP) un espace probabilise. On rappelle que, par de nition, IP veri e les axiomes
(i) IP [A] 0 pour tout A2A
(ii) IP [ ] = 1
(iii) IP [A [A [:::] = IP [A ]+IP [A ]+:::, pour toutA ;A ;:::2A tels queA \A =; si i =j.1 2 1 2 1 2 i j
Deduire successivement de ces axiomes (ci-dessous, A;A ;A 2A)1 2
(a) IP [;] = 02 3
(iii)4 5IP
[;[;[;[::: = IP [ ] + IP [ ;] + IP [;] + IP [;] +::: =) IP [;] = 0| {z }

(b) Si A \A =;, alors IP [A [A ] = IP [A ] + IP [A ]1 2 1 2 1 2
(iii)
IP [A [A [;[;[:::] = IP [A ] + IP [A ] + IP [;] + IP [;] +:::1 2 1 2
c(c) IP [A ] = 1 IP [A]2 3
(iii)c c c4 5IP A[A = IP [A] + IP [A ], IP [A ] = IP [ ] IP [A] = 1 IP [A]| {z }

(d) 0 IP [A] 1
(c)cIP [A ] = 1 IP [A], IP [A] 1
| {z }
0 (i)
(e) IP [A nA ] = IP [A ] IP [A \A ]1 2 1 1 2
(iii)
(A nA )[ (A \A ) =A =) IP [A ] = IP [A nA ] + IP [A \A ]1 2 1 2 1 1 1 2 1 2
(f) Si A A , alors IP [A ] IP [A ]1 2 1 2
Si A A , A [ (A nA ) =A et A \ (A nA ) =;.1 2 1 2 1 2 1 2 1
(b)
) IP [A ] = IP [A ] + IP [A nA ]2 1 2 1
| {z }
0
(g) IP [A [A ] = IP [A ] + IP [A ] IP [A \A ]1 2 1 2 1 2
A [ (A nA ) =A [A et A \ (A nA ) =;.1 2 1 1 2 1 2 1
(e)
) IP [A [A ] = IP [A ] + IP [A nA ] = IP [A ] + IP [A ] IP [A \A ]1 2 1 2 1 1 2 1 2
Exercice 4**
Soient A et A deux evenements. Supposons que IP [A ] = 1.1 2 1
(a) Que vaut alors IP [A [A ] ?1 2
3(f)
A (A [A )) IP [A ] IP [A [A ]1 1 2 1 1 2| {z }
=1
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
3(d)
IP [A [A ] 1) IP [A [A ] = 11 2 1 2
(b) Supposons queA etA soient des evenements mutuellement exclusifs (au sens ouA\A =;).1 2 1 2
Calculer P [A ].2 2 3
4 5IP [A [A ] = IP [A ] + IP [A ] IP A \A1 2 1 2 1 2| {z }
;
) IP [A ] = IP [A [A ] IP [A ]2 1 2 1
= 1 IP [A ]1
= 1 1
= 0
Exercice 5*
Pour rappel, on de nit IP [ AjA ] = IP [A \A ]=IP [A ] (si IP [A ] > 0), ce qui implique que1 2 1 2 2 2
IP [A \A ] = IP [AjA ] IP [A ]. En developpant le membre de droite, prouver la loi de multiplica-1 2 1 2 2
tion IP [A \A \:::\A ] = IP [AjA \:::\A ]::: IP [A jA \A ] IP [A jA ] IP [A ] ou1 2 n 1 2 n n 2 n 1 n n 1 n n
n 3 (la formule tient si IP [A \:::\A ]> 0).2 n
IP [AjA \:::\A ] IP [AjA \:::\A ]::: IP [A jA \A ] IP [A jA ] IP [A ]1 2 n 2 3 n n 2 n 1 n n 1 n n
IP [A \A \:::\A ] IP [A \A \:::\A ] IP [A \A \A ]1 2 n 2 3 n n 2 n 1 n= :::
IP [A \:::\A ] IP [A \:::\A ] IP [A \A ]2 n 3 n n 1 n
IP [A \A ]n 1 n
IP [A ]n
IP [A ]n
= IP [A \A \:::\A ]1 2 n
Exercice 6**
Pour chacune des a rmations suivantes, donner soit une preuve soit un contre-exemple :
1. si A est independant de A , alors A est independant de A .1 2 2 1
L’assertion est vraie.
IP [A \A ] = IP [A ] IP [A ] = IP [A ] IP [A ] = IP [A \A ]1 2 1 2 2 1 2 1
2. si A est independant de A , si A l’est de A et si en plus A l’est de A \A , alors A est1 2 2 3 1 2 3 3
independant de A \A .1 2
L’assertion est vraie.
IP [A \ (A \A )] = IP [A \ (A \A )]3 1 2 1 2 3
= IP [A ] IP [A \A ]1 2 3
= IP [A ] IP [A ] IP [A ]1 2 3
= IP [A ] IP [A \A ]3 1 2
3. si A est independant de A et A , alors il l’est de A [A .1 2 3 2 3
L’assertion est fausse.
Contre-exemple : voir cours (l’exemple des deux des a la n du chapitre 1).
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts6
STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
4. si A est independant de A et A , et si A \A =;, alors A est independant de A [A .1 2 3 2 3 1 2 3
L’assertion est vraie.
IP [A \ (A [A )] = IP [(A \A )[ (A \A )]1 2 3 1 2 1 3
= IP [A \A ] + IP [A \A ]1 2 1 3
= IP [A ] IP [A ] + IP [A ] IP [A ]1 2 1 3
= IP [A ] (IP [A ] + IP [A ])1 2 3
= IP [A ] IP [A [A ]1 2 3
Exercices pratiques
Exercice 1**
Considerons l’experience aleatoire consistant a lancer deux des a 6 faces. Nous sommes interesses
par les deux evenements A : obtenir deux fois le m^eme nombre (la m^eme face) et A : obtenir au1 2
moins une fois la face 5.
(a) Calculer IP [A ], IP [A ], IP [A \A ] et IP [A [A ].1 2 1 2 1 2
Determinons tout d’abord l’ensemble des valeurs associees a ces deux evenements.
A =f(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)g1
A =f(1; 5); (2; 5); (3; 5); (4; 5); (5; 5); (6; 5); (5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 6)g2
De plus, A \A =f(5; 5)g1 2
Nous pouvons des lors determiner les probabilites suivantes :
1 1
IP [A ] = 6 =1
36 6
1 11
IP [A ] = 11 =2
36 36
1
IP [A \A ] =1 2
36
16 4
IP [A [A ] = =1 2
36 9
(b) Veri er qu’on a bien P [A [A ] =P [A ] +P [A ] P [A \A ].1 2 1 2 1 2
1 11 1 16
P [A ] +P [A ] P [A \A ] = + = = IP [A [A ]1 2 1 2 1 26 36 36 36
(c) Les evenements A et A sont-ils independants ?1 2
Si A et A etaient independants alors IP [A \A ] = IP [A ] IP [A ]1 2 1 2 1 2
16 1 11Dans notre cas, nous avons que = IP [A \A ] = IP [A ] IP [A ] = 1 2 1 236 6 36
A et A ne sont donc pas independants.1 2
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
Exercice 2**
Quelle est la probabilite d’obtenir au moins un 6 lorsque l’on jette un de quatre fois ?
Soit A l’evenement obtenir au moins un 6 sur 4 lancers. L’evenement complementaire de A est
cA : obtenir aucun 6 sur 4 lancers.
cIP [A] = 1 IP [A ]
= 1 IP [pas 6 au lancer 1,pas 6 au lancer 2,pas 6 au lancer 3, pas 6 au lancer 4]
4
5
= 1 car les lancers sont independants les uns des autres
6
0:52
Exercice 3***
Dans une entreprise, la probabilite que l’ouvrier A quitte l’entreprise dans l’annee est 1/5, la
probabilite que le cadre B quitte l’entreprise dans l’annee est 1/8 et la probabilite que A et B
quittent tous deux l’entreprise est 1/40. Nous supposerons que le fait que l’ouvrier A et le cadre Bt l’entreprise sont des evenements independants. Calculer la probabilite que
(a) au moins l’un des deux quitte l’entreprise.
1
IP [A quitte] =
5
1
IP [B quitte] =
8
1
IP [A et B quittent] =
40
Soit A l’evenement qu’au moins un des deux quitte.1
A =f(A quitte;B quitte); (A quitte ;B reste); (A reste ;B quitte)g1
1 1 7 4 1 1 7 4 3
IP [A ] = + + = + + =1
40 5 8 5 8 40 40 40 10
(b) qu’aucun des deux ne quitte l’entreprise. Soit A l’evenement qu’aucun des deux quitte.2
A =f(A reste ;B reste)g2
4 7 7
IP [A ] = =2
5 8 10
Exercice 4**
Dix delegues de dix pays - dont la Russie, la France, la Grande-Bretagne et les Etats-Unis -
s’assoient en rang. De combien de manieres est-ce possible si le fran cais et l’anglais tiennent a ^etre
voisins tandis que l’americain et le russe ne veulent pas l’^etre ?
Si nous considerons le fran cais et l’anglais comme un seul bloc, et les 8 autres delegues comme
8 autres blocs, il existe 9! manieres d’ordonner les blocs. Parmi le bloc constitue du fran cais et de
l’anglais, il existe deux fa cons de les permuter. Au total, nous obtenons 2 9! solutions satisfaisant
la premiere contrainte.
Pour la seconde contrainte, a savoir que l’americain et le russe ne veulent pas ^etre voisins, il existe
une multitude de cas possibles. Il vaut donc mieux denombrer le nombre de cas ne satisfaisant pas
Titulaire: D. Paindaveine Assistant: C. Bru aerts STAT-S-202(A) Corrige Seances 1-2
la contrainte a( savoir que l’americain et le russe sont en e et voisins) et soustraire ce nombre de
cas a partir du nombre total de possibilites calcule precedemment.
Considerons a nouveau le fran cais et l’anglais comme un premier bloc, l’americain et le russe comme
un second bloc, et les 6 delegues restants 6 autres blocs. Il y a 8 ! fa cons d’ordonner ces 8
blocs, et chaque fois 22 fa cons de permuter le fran cais et l’anglais ainsi que le russe et l’americain.
Au total, nous obtenons 4 8! solutions.
Finalement, le nombre de solutions satisfaisant les deux contraintes simultanement est :
2 9! 4 8! = 2 8! (9 2) = 2 8! 7 = 564480
Exercice 5***
Un etudiant doit suivre 2 cours de math (M1, M2), 3 cours de chimie (C1, C2, C3), et 4 cours
de physique (P1, P2, P3, P4). Il decide de n’assister